Реферат : Категории симметрии и асимметрии

Введение

Симметрией называется такая особенность природы, про которую принято говорить, что она охватывает все формы движения и организации материи. Истоки понятия симметрии восходят к древним. Наиболее важным открытием древних было осознание сходства и различия правого и левого. Здесь природными образцами им служили собственное тело, а также тела животных, птиц и рыб.

Русский исследователь, ученый ломоносовского склада, энциклопедист В. И. Вернадский в своей работе "Химическое строение биосферы Земли и ее окружения" писал: "…чувство симметрии и реальное стремление его выразить в быту и в жизни существовало в человечестве с палеолита или даже с эолита, то есть самых длительных периодов в доистории человечества, который длился для палеолита около полмиллиона лет, а для эолита — миллионы лет. Это чувство и связанная с ним работа, еще резко и интенсивно меняясь, сказывались и в неолите 25 000 лет тому назад".

[sms]

Можно вспомнить также храмы древнего Вавилона и пирамиды Гизы, дворец в Ашшуре, где пространственные закономерности проявляются особенно ярко. Итак, с глубокой древности, начиная, по-видимому, с неолита, человек постепенно осознал и пытался выразить в художественных образах тот факт, что в природе, кроме хаотического расположения одинаковых предметов или их частей, существуют некоторые пространственные закономерности. Они могут быть совсем простыми — последовательное повторение одного предмета, более сложными — повороты или отражения в зеркале. Для того чтобы точно выразить эти закономерности, нужны были специальные термины. По преданию, их придумал Пифагор Регийский.

Термином "симметрия", что в буквальном смысле значит соразмерность (пропорциональность, однородность, гармония), Пифагор Регийский обозначил пространственную закономерность в расположении одинаковых частей фигуры или самих фигур. Симметрия может проявляться в перемещениях, поворотах или отражениях в зеркале.

Типы симметрии

Внутренние и пространственно-временные симметрии

Среди разных типов симметрии различают пространственно-временные симметрии и внутренние симметрии.

Пространственно-временные симметрии являются наиболее общими симметриями природы. Их можно разделить на симметрии, связанные с непрерывными и дискретными преобразованиями.

К непрерывным преобразованиям относятся следующие:

Перенос (сдвиг) системы как целого в пространстве. Симметрия физических законов относительно сдвигов в пространстве означает эквивалентность всех точек пространства, то есть отсутствие в пространстве каких-либо выделенных точек (однородность пространства).
Изменение начала отсчета времени (сдвиг во времени); симметрия относительно этого преобразования означает эквивалентность всех моментов времени (однородность времени), благодаря которой физические законы не меняются со временем.
Поворот системы как целого в пространстве; симметрия физических законов относительно этого преобразования означает эквивалентность всех направлений в пространстве (изотропию пространства).
Переход к системе отсчета, движущейся относительно данной системы с постоянной (по направлению и величине) скоростью. Симметрия относительно этого преобразования означает, в частности, эквивалентность всех инерциальных систем отсчета.
Симметрия относительно первых двух преобразований приводит к законам сохранения импульса и энергии, а симметрия относительно поворотов — к закону сохранения момента и равномерному прямолинейному движению центра инерции физической системы (в инерциальной системе координат).

Среди дискретных пространственно-временных симметрий различают СРТ-симметрию и зеркальную симметрию.

Из свойств пространства и основных положений квантовой теории поля следует, что для любой частицы, обладающей каким-либо зарядом, должна существовать симметричная ей античастица (обладающая той же массой, временем жизни и спином, но с противоположным значением заряда), а также необходимость определенной симметрии между движениями частиц и античастиц. Основной идеей для указанной симметрии является то, что одновременное отражение всех пространственных осей (Р) и временной оси (Т) (то есть переход к зеркальной системе пространственных координат и отсчет времени в обратном направлении) формально сводится к реальному повороту. Поэтому теория, удовлетворяющая требованиям релятивистской инвариантности, должна быть инвариантна и относительно так называемого слабого отражения (РТ).

Поскольку при слабом отражении энергия и импульс частиц меняются на противоположные значения, инвариантность теории относительно слабого отражения, казалось бы, приводит к существованию физически недопустимых состояний с отрицательными энергиями. В квантовой теории поля это можно устранить, истолковав движение частиц с отрицательными энергиями как обращенное по времени, зеркально симметричное движение частиц с положительной энергией, но с противоположным значением заряда. Таким образом, необходимость существования античастиц следует из требования релятивистской инвариантности и положительности энергии. Законы природы оказываются, следовательно, симметричными относительно так называемого сильного отражения (СРТ) и зарядового сопряжения (то есть перехода от частиц к античастицам). Это утверждение составляет содержание теоремы СРТ, согласно которой для любого движения частиц может осуществляться в природе симметричное ему движение античастиц.

Зеркальная симметрия осуществляется в процессах, вызываемых сильными и электромагнитными взаимодействиями, а также в системах, связанных с помощью этих взаимодействий (атомах, атомных ядрах, молекулах, кристаллах и т. д.). Наличие зеркальной симметрии означает, что для любого процесса, обусловленного сильным или электромагнитным взаимодействием, с равной вероятностью могут осуществляться два зеркально-симметричных перехода. Это обуславливает, например, симметричность относительно плоскости, перпендикулярной спину, углового распределения квантов, испускаемых поляризованными ядрами. Зеркально-симметричные состояния отличаются друг от друга противоположными направлениями скоростей (импульсов) частиц и электрических полей и имеют одинаковые направления магнитных полей и спинов частиц.

Под внутренней симметрией понимают симметрию между частицами (в квантовой теории поля — между полями) с различными внутренними квантовыми числами. Среди различных внутренних симметрий можно выделить глобальные симметрии и локальные симметрии.

Если параметры преобразований для глобальных симметрий можно рассматривать как произвольные функции пространственно-временных координат, то говорят, что соответствующие симметрии выполняются глобально.

Одно- и двумерная симметрии

Изучение симметрии кристаллических ребер и рядов ионов, атомов и молекул, слагающих кристалл, привело к необходимости вывода всех одномерных групп симметрии. Все операции одномерной симметрии оставляют инвариантной одну особенную прямую. Изучение же симметрии граней и молекулярных, атомных, ионных слоев кристаллов привело к необходимости вывода всех двумерных групп симметрии. В последних операции симметрии оставляют инвариантной одну особенную плоскость.

Симметрия одномерная характерна для фигур с одним особенным направлением — бордюров, лент, стержней, названия которых недвусмысленно говорят об их происхождении. Однако названия эти употребляются здесь не в обычном житейском смысле, а как родовые обозначения для определенных совокупностей явлений.

Бордюры — это фигуры без особенных точек, но с единственной осью переносов и особенной полярной плоскостью. К ним относятся обычные бордюры, применяемые для украшения проходов в метро, стен, колонн, пилястр, ребра кристаллов, побеги растений, некоторые биологические мембраны и т. д. Их симметрия исчерпывается всего семью группами, составленными из осей переносов, обычных и "скользящих" плоскостей, простых осей второго порядка.

Ленты — это фигуры без особенных точек, но с единственной осью переносов и проходящей через нее полярной или неполярной плоскостью. Бордюры, таким образом, — ленты с особенной полярной плоскостью. К ним относятся всевозможные барьеры, садовые решетки, заборы, биологические мембраны и т. д. Доказано, что в лентах может быть только 6 элементов симметрии: простая двойная ось, центр и плоскость симметрии, ось переносов, двойная винтовая ось и плоскость скользящего отражения. Таким образом, для лент характерно отсутствие осей симметрии выше второго порядка. Объяснение этому простое: оси порядка выше двух вызывали бы существование нескольких трансляционных осей либо нескольких особенных плоскостей, что противоречит первоначальным условиям.

Стержни — это фигуры без особых точек и плоскостей, но с единственным особым направлением, осью стержня, с которой, кроме оси переносов, могут совпадать винтовые, зеркально-поворотные, простые поворотные оси любого порядка. Таким образом, бордюры и ленты — стержни особого рода. Примеры стержней — цепи, плетеные канаты, цепные полимерные молекулы, лучи простого и поляризованного света, силовые линии и т. д. На оси стержня можно располагать фигуры с самыми различными, но не выходящими за пределы особого направления элементами симметрии; из всех фигур с особой точкой для этой цели пригодны, таким образом, все конечные фигуры кроме правильных многогранников, содержащих косые оси. Размножение фигур по оси стержня производится с помощью элементов симметрии бесконечных (трансляционные и винтовые оси, плоскость скользящего отражения), а также промежуточных элементов конечных фигур (центра симметрии, поперечной оси второго порядка, зеркально-поворотной оси, поперечной плоскости симметрии). Существует бесконечное множество видов симметрии стержней, сводимых к 17 типам, кристаллографических групп симметрии — 75.

Симметрия двумерная присуща фигурам с двумя особенными направлениями: сетчатым орнаментам и слоям, названия которых по происхождению хотя и связаны с определенного рода бытовыми вещами, тем не менее, также служат лишь родовыми понятиями для обозначения двух гораздо более широких явлений.

Сетчатый орнамент — это фигура без особенной точки, с особенной полярной плоскостью и двумя осями переносов. Примерами его являются плоские орнаменты кристаллических граней, образованные атомами, ионами и молекулами, клеточек биологических срезов и т. д. Бесконечный сетчатый орнамент применяется человеком при производстве паркетных полов, бумажных обоев, ковров и т. д.

Фигуры односторонней розетки симметрии n или n – m (n — ось симметрии порядка n, m — плоскость, точка — знак прохождения n штук плоскостей m вдоль оси n) при их размножении в двух взаимно перпендикулярных направлениях посредством непрерывных переносов а" и а" приводят к односторонним плоским континуумам двоякого рода: а": а": n – m; а": а": n (n = 1:) (здесь двоеточие — знак перпендикулярности). Таким образом, возможно бесконечное множество отличных от евклидовых односторонних плоскостей. Замечательно, что только при n = мы получаем вполне изотропную:

обыкновенную одностороннюю плоскость симметрии а": а": – m, которой отвечает, например, гладкая поверхность воды, отражающая световые лучи;
правую и левую односторонние плоскости симметрии а": а": , которой отвечает поверхность оптически активного раствора, вращающего плоскость линейно поляризованного света вправо или влево.
Для биологических систем наиболее характерны плоскости именно двух последних родов (изомерийные).

Всем остальным видам симметрии (n ) отвечают анизотропные плоскости; формуле а": а": 1 отвечают правые и левые асимметричные в смысле симметрии размножаемых точек плоскости. Их моделями могут служить бесконечные односторонние поверхности с равномерно и беспорядочно распределенными на них асимметричными молекулами или однородные сообщества высших растений, рассмотренные с высоты птичьего полета.

От односторонних плоских континуумов легко перейти к односторонним семиконтинуумам — бесконечным плоским фигурам, прерывным в одних и непрерывным в других направлениях. Примеры их — система начерченных на бумаге параллельных полос, плоский ряд карандашей и т. д. Их симметрия исчерпывается всего 7 видами. Причем если отбросить в формулах симметрии плоских односторонних семиконтинуумов символ непрерывной оси переносов, то получается 7 формул симметрии уже известных нам бордюров. Это значит, что плоские односторонние семиконтинуумы — это обыкновенные бордюры, до бесконечности вытянутые в ширину.

Слои — это фигуры без особенных точек, с особенной, не обязательно полярной плоскостью и двумя осями переносов. Таким образом, сетчатые орнаменты — лишь особого рода слои. Примерами слоев являются складчатые слои полипептидных цепей, тончайшие пленки, прозрачные двусторонние вывески и т. д.

Вывод видов симметрии двусторонних плоских континуумов осуществляется размножением фигур двусторонней розетки посредством двух взаимно перпендикулярных непрерывных переносов. Так как число групп симметрии двусторонних розеток бесконечно, то бесконечно и число групп симметрии двусторонних плоских континуумов.

Двусторонний плоский семиконтинуум можно получить посредством двух взаимно перпендикулярных переносов прямой линии, обладающей той или иной симметрией ленты. В качестве примера плоского двустороннего семиконтинуума можно взять систему тонких натянутых на плоскости равноотстоящих друг от друга проволок.

Континуумы, семиконтинуумы, дисконтинуумы

Теперь возвратимся к фигурам с трехмерной симметрией, но уже как к симметрическим пространствам — трехмерным дисконтинуумам, семиконтинуумам и континуумам.

Уже из философских положений:

пространство и время — формы существования материи;
движение — сущность пространства и времени;
существуют качественно различные, взаимно превращающиеся виды материи и формы ее движения
— вытекают выводы о существовании качественно различных взаимно превращающихся конкретных форм пространства и времени.
Данные о континуумах, семиконтинуумах и дисконтинуумах также подтверждают эти утверждения. Они с новой и очень своеобразной стороны выявляют связь симметрии с пространством и временем.

Очевидно кристаллы в отношении их атомов, ионов и молекул можно рассматривать как дискретные трехмерные пространства — дисконтинуумы.

Помимо дискретных — анизотропных и неоднородных — пространств в теории различают еще и дискретные в одних и непрерывные в других направлениях пространства — семиконтинуумы I и II рода. Семиконтинуумы, будучи явлениями переходными между континуумами и дисконтинуумами и одновременно их единством, с новых сторон выявляют диалектику пространства.

Пространственные (трехмерные) семиконтинуумы I рода могут быть получены трансляцией плоских континуумов вдоль перпендикуляра к ним. Число групп симметрии пространственных семиконтинуумов I рода бесконечно. Можно привести несколько примеров таких пространств в природе. Они проявляются, например, в так называемых смектических жидких кристаллах. Последние состоят из пленок толщиной в 1 – 2 молекулы, пленки лежат друг на друге, как листы в стопке бумаги, причем молекулы в них одной своей осью расположены параллельно друг другу, а двумя другими— нет. Другие примеры — поле стоячих ультразвуковых волн в жидкости, образованное сгущениями и разряжениями последней, а также однородное световое поле, которое можно рассматривать как семиконтинуум для плоских волн.

Пространственные семиконтинуумы II рода могут быть получены переносом любых из одно- и двусторонних плоскостей, обладающих симметрией бесконечных слоев. Простейшие примеры семиконтинуумов II рода дает практика: с ними мы сталкиваемся при укладке стержней — бревен, труб и т. д.

Перейдем теперь к рассмотрению полностью непрерывных во всех трех направлениях пространств-континуумов. Пространственные континуумы могут быть получены путем трех непрерывных взаимно перпендикулярных переносов элементарных объектов, обладающих симметрией конечных фигур.

Примером симметрических пространственных континуумов являются разнообразные физические поля. Евклидово пространство — также один из примеров таких континуумов. Его можно получить непрерывным "размножением" в трех направлениях точки, обладающей симметрией обыкновенного шара (/ – m). Пространство уже обычного электрического поля, в котором направление "вперед" (по силовым линиям) отлично от направления "назад" (против силовых линий), существенно отличается от пространства Евклида. Такой континуум можно получить непрерывным переносом в трех взаимно перпендикулярных направлениях одной точки с симметрией обыкновенного круглого конуса ( – m).

Как известно, в теории относительности была впервые выявлена глубокая связь двух фундаментальных континуумов — пространственного и временного. Поэтому особое значение среди различных физических континуумов придается пространственно-временному, описываемому ортохронной группой преобразований Лоренца. Она состоит из:

группы вращений в пространственно-временных плоскостях на чисто мнимый угол;
группы трехмерных вращений;
группы пространственной инверсии.
Основной вывод, неизбежно следующий из рассмотрения свойств одно-, двух-, трех-, четырех-,…, n -мерных континуумов, семиконтинуумов и дисконтинуумов, — это вывод о бесконечном количественном и качественном разнообразии и одно- и двусторонних превращениях, переходах одних реальных пространств и времен в другие.

Эти же выводы подтверждаются и общей теорией относительности, согласно которой в "большом" — в масштабах Метагалактики — реальное пространство-время глубоко неоднородно и неизотропно, хотя в "малом" (например, в масштабах Солнечной системы) это пространство-время псевдоевклидово. Однако это подход к малому пространству и времени только с одной точки зрения. То же малое даже в бесчисленном множестве "совсем малых" пространств и времен, если его рассматривать уже с позиции геометрической симметрии, вернее, кристаллографических аспектов, обнаруживает также бесконечное разнообразие. Материалы о плоских и трехмерных реальных континуумах, семиконтинуумах и дисконтинуумах доказывают это совершенно строго. Приведем новые подтверждения развиваемых здесь положений из области квантовой физики твердого тела.

Известно, что все атомы правильной кристаллической решетки в некотором приближении одинаковы. Они подобны музыкальным струнам, настроенным на одну и ту же частоту, и вследствие этого при возбуждении колебаний в одном из них способны резонировать, что приводит к волне, бегущей через весь кристалл. Природа этих волн может быть очень разнообразной — звуковой, магнитной, электрической и т. д. Согласно общим законам квантовой механики, эти волны возникают и передаются только в виде квантов энергии. Последние во многом аналогичны обычным частицам, и их называют квазичастицами. Поскольку природа их определяется структурой и химическим составом кристаллов, то их разнообразие значительно более широко, чем разнообразие истинных частиц. Сейчас известны такие квазичастицы, как фотоны (кванты звука), электроны проводимости, магноны (спиновые волны), эквитоны, поляритоны (светоэкзитоны) и многие другие. Важность введения квазичастиц в теорию твердого тела состояла в том, что во многих случаях кристалл оказалось возможным трактовать с позиций не взаимодействующих или слабо взаимодействующих квазичастиц.

Известно, что механику истинных частиц пронизывает принцип относительности, выраженный лоренцовыми преобразованиями. Этот принцип выражает однородность, изотропность пространства и однородность времени, с которыми связаны разные законы сохранения. Это проявляется также и в универсальности для механики всех истинных частиц зависимости энергии E от импульса p:

Е = E + cp,

где Етс — энергия покоя, т — масса покоя, с — скорость света в вакууме.

Если с/м << c, то есть вне релятивистской области, то Е = р / 2т.

Это обычный квадратичный закон дисперсии.

Однако с переходом к квазичастицам положение радикально меняется. И это прямо связано с резко иным характером малых кристаллических пространств по сравнению с "пустым" пространством малого. Очень четко и интересно резюмируют результаты такого перехода И. М. Лившиц и В. М. Агранович. Они пишут, что для квазичастиц положение радикально меняется, потому что "квазичастицы не в пустом пространстве, не в вакууме, а в кристаллическом пространстве, которое имеет симметрию, отвечающую соответствующей пространственной группе кристалла. В связи с этим имеется выделенная система отсчета, и нет прежнего принципа относительности. Поэтому нет и закона дисперсии, который имеет место для истинных частиц. Вместо этого возникает сложный закон дисперсии Е = Е(р), причем вместо импульса приходится говорить о квазиимпульсе, ибо пространство уже неоднородно, и закон сохранения импульса, который является точным законом в однородном пространстве, в кристаллическом пространстве выполняется с точностью до целочисленного вектора обратной решетки, умноженной на h.

Закон дисперсии для квазичастиц существенно отличается от элементарного закона Е = р/2т. Во-первых, Е(р) — периодическая функция р с периодом, равным периоду обратной решетки, умноженному на h. Во- вторых, имеется, вообще говоря, резкая анизотропия этого закона дисперсии и, следовательно, анизотропия всех свойств, определяемых квазичастицами.

Далее. Для истинных частиц в зависимости Е = р/2т каждому Е соответствуют поверхности, называемые поверхностями Ферми. В данном случае это просто сферы, радиус которых растет пропорционально Е. Для квазичастиц уже в пространстве квазиимпульсов функции Е = Е(р) при каждом заданном Е соответствует периодически повторяющийся набор поверхностей Ферми, которые иногда могут смыкаться в одну поверхность, проходящую через все пространство. Придавая Е различные значения и изображая графически в итоге всю функцию Е = Е(р), можно передать рисунком все черты динамики квазичастиц. Получающиеся при таком подходе изображения типологически очень сложны и чрезвычайно напоминают абстрактные скульптуры. Они резко отличаются от примитивных по форме сфер.

Подобно истинным частицам, одни из квазичастиц подчиняются статистике Бозе-Эйнштейна и являются, стало быть, бозонами, другие — Ферми-Дирака и являются фермионами. Но не всегда статистика квазичастиц совпадает со статистикой истинных частиц. Так, в системе электронов имеются квазичастицы-плазмоны, являющиеся бозонами, хотя, как известно, свободные электроны являются фермионами.

Кристаллы

Кристаллографическая симметрия

Под кристаллографической симметрией в узком, или точном, смысле обычно понимают такую симметрию (кристаллов), группы которой могут быть полностью описаны с помощью простых, винтовых и зеркальных осей 1, 2, 3, 4 и 6-го порядка оси переносов и плоскости скользящего отражения. При этом трансляции, связанные с плоскостями скользящего отражения и винтовыми осями, часто представляются конечными.

Кристаллографическая, или структурная, симметрия в широком смысле от этих ограничений освобождена. Она включает первую как свой частный случай и, стало быть, в принципе может быть представлена группами и симметрией, описываемыми простыми, зеркальными и винтовыми осями любых, в том числе 5, 7, 8, …, порядков, а также осями переносов и плоскостями скользящего отражения.

В истории познания кристаллографической симметрии следует остановиться на трех моментах, характеризующих диалектичность процесса познания.

Во-первых, познание симметрии кристаллов и кристаллографической симметрии шло по спиралям путем отрицания. А именно: от живого созерцания — блещущей внешней формы кристаллов — к абстрактному мышлению — их внутреннему решетчатому строению, а от него, с одной стороны, к практике — к величайшему использованию кристаллов в производстве и в быту, с другой — снова к внешней форме кристаллов, но увиденной уже и изнутри.

Во-вторых, в познании кристаллографической симметрии весьма интересна сама история названия этого вида симметрии. Учение о ней, первоначально возникнув вне связи с изучением кристаллов, а затем тесно с ним переплетаясь и получив свое наименование, решительно вышло — не без старания самих кристаллографов — за рамки чисто "кристаллического" представления о симметрии. И здесь снова шел сложный диалектический процесс познания.

Третий момент отмечен В. И. Вернадским: "Кристаллография, — пишет он, — стала наукой только тогда, когда первые основатели кристаллографии в XVII в. Гульельмини и Стеноп, а главным образом в XVIII в. Роме де Лиль, Гаюи правильно приняли за основу построения научного исследования одно свойство природных кристаллов как основное и оставили без внимания отклонения в наружной форме кристаллов от идеальных многогранников геометрии как вторичные. Этим единым исходным свойством был принят правильно закон постоянства гранных углов, открытый независимо Гульельмини и Стенсепом, так называемый закон Стенопа. Вторичными свойствами явились размеры и форма кристаллических плоскостей и ребер кристаллических многогранников. Исходя из этого, построили реальные полиэдры — модели природных кристаллов, в которых ребра и плоскости, теоретически являющиеся функцией гранных углов, выявились в своей реальной величине и форме, нарушенных в природных кристаллах проявлением поверхностных сил.

Эти силы оставлены были вначале без внимания.

Так получились идеальные полиэдры геометрии. Такие полиэдры были впервые построены Роме де Лилем в XVIII столетии. Они называются кристаллическими многогранниками". Идеальные по своей форме кристаллы стали рассматриваться как реальные с истинной симметрией, а отклоняющиеся от них — как ложные с искаженной симметрией. Первые в природе встречаются один на одну или даже несколько тысяч, с большим трудом их удается получить в лабораторных условиях. Вторые составляют, если можно так выразиться, сверхподавляющую часть природных кристаллов. Они легко получаются в лабораторных условиях.

Результат такой ориентации известен: на протяжении столетий наиболее часто встречающиеся, а потому поистине реальные "ложные" кристаллы с искаженной симметрией оставались вне поля зрения кристаллографов, что отрицательно сказалось на общем уровне учения о реальных кристаллах, Сейчас положение выправляется. И все же в таких поворотах внимания кристаллографов было некоторое оправдание: невозможно изучать само отклонение, не зная того, от чего оно отклоняется...

Закон постоянства гранных углов Стенона впоследствии дал начало учению о морфологической симметрии кристаллов — основе учения о симметрии любых фигур с особенной точкой. Напомним слова А. В Шубникова об особенных элементах фигуры: "Точка (прямая, плоскость) фигуры (или ее части) называется особенной, если она совмещается с собою всеми операциями фигуры (или ее части). Особенные геометрические элементы существуют в фигурах в единственном числе". Центр сферы, ось конуса, поперечная плоскость цилиндра — соответственно особенные точка, линия, плоскость; трехмерное пространство в классическом учении о пространственной симметрии кристаллов — также особенный геометрический элемент.

Существует несколько наименований фигур с особенными точками. Чаще всего их называют конечными или, строже, точечными фигурами, реже — фигурами симметрии нулевого измерения. Последние могут быть разделены на две категории: фигуры без особенных плоскостей и фигуры с особенными плоскостями. Все платоновы тела и шар принадлежат к фигурам первой категории. К фигурам второй категории принадлежат так называемые розетки (одно- и двусторонние). Примеры односторонних розеток — фигуры пуговицы, цветка растения, насекомого, детской бумажной вертушки, фигуры травления на гранях кристалла; примеры двусторонних розеток — решетки ворот, колеса, кольца, платки с одинаковым рисунком с обеих сторон, буквы без лица и изнанки (П, Н, Ж), снежинки, фигуры млекопитающих, если смотреть на них сбоку (при другой ориентации они предстанут уже в виде односторонних розеток). Таким образом, и у тех, и у других розеток имеется одна особенная плоскость с особенной точкой в ней. При этом у односторонних розеток эта плоскость полярна, т. е. ее "лицо" отлично от "изнанки", а у двусторонних она не полярна и может являться поэтому плоскостью симметрии.

По-видимому, будет правильным связать развитие учения о симметрии нулевого измерения с построениями древними математиками таких типичных конечных фигур, как многоугольники и многогранники. Особое место здесь должно быть отведено пяти правильным платоновым многогранникам, которые Г. Вейль удачно назвал древним эквивалентом некоторых современных классов групп симметрии конечных фигур.

Далее в изучении симметрии кристаллов наблюдается досадный более чем 1,5-тысячелетний перерыв. Возобновившийся после столь длительного застоя ход исследований в сухом перечне дат и фамилий выглядит так.

1611 г. — И. Кеплер указывает на сохранение угла (в 60° между отдельными лучами у снежинок) и гениально объясняет это их внутренним сложением из шарообразных частиц.

1669 г. — Н. Стенсен открыл закон постоянства углов у кристаллов кварца и гематита.

1670 г. — Э. Бартолин (1625 – 1698) то же свойство указал для кальцита; 1695 г. — А. Левенгук (1632 – 1723) — для гипса (малых и больших кристаллов); 1749 г. — М. В. Ломоносов (1711 – 1765) — для кристаллов селитры, пирита, алмаза и других, положив тем самым начало русской кристаллографии.

Лишь в 1783 г. Роме де Лиль (1736 – 1790) распространил закон постоянства углов на все кристаллы, проведя десятки тысяч измерений на большом числе объектов. Результаты измерений — итог всей жизни — он систематически докладывал ученым в Париже. Эти сообщения и были первыми лекциями по кристаллографии. Закон постоянства углов формулируется им в работе "Кристаллография" так: "Грани кристалла могут изменяться по своей форме и относительным размерам, но их взаимные наклоны постоянны и неизменны для данного рода кристаллов".

В 1784 – 1801 гг. Р. Ж. Гаюи (1743 – 1822), тщательно математически переработав данные Роме де Лиля, установил другой важнейший закон геометрической кристаллографии — закон целых чисел (рациональных отношений параметров), с которым непосредственно связан закон целых чисел в химии Дальтона (1808 г.), бывавшего в то время в Париже и слушавшего лекции Гаюи. Закон Гаюи формулируется следующим образом: положение всякой грани в пространстве можно определить тремя целыми числами, если за координатные оси взяты направления трех ребер кристалла, а за единицу измерения — отрезки, отсекаемые на этих осях гранью кристалла, принятой за единичную. X. Венссом (1780 – 1856) в 1815 г. было предложено деление кристаллов на сингонии (сейчас они классифицируются на 7 сингоний, 3 категории). В итоге всех исследований были сделаны два великих открытия: открытие полных групп симметрии кристаллов — морфологической (1830 г.), и через 60 лет — структурной (1890 г.). Первое открытие на основе закона целых чисел сделал в 1830 г. малоизвестный при жизни марбургский профессор И. Ф. Гессель (1796 – 1872), геометрически доказавший, что внешняя форма кристаллов описывается лишь 32 видами симметрии. Одновременно он разработал полную теорию симметрии конечных фигур и вывел бесконечное множество видов их симметрии. Однако эта работа осталась незамеченной. Те же 32 вида вновь, хотя и иным путем, открыл уже в 1867 т. русский ученый Л. В. Гадолин (1828 – 1892). Замечательно, что при жизни последнего эмпирически было известно лишь 20 видов симметрии кристаллов. Результаты Гесселя-Гадолина привели к выводу о том, что фигуры симметрии нулевого измерения полностью описываются бесконечным числом групп (видов). Увеличение числа групп симметрии с 32 до объясняется просто: за счет учета и запрещенных для кристаллов осей симметрии, т. е. 5, 7, 8, 9, 10,... и т. д., кроме , порядков. Причина этого запрета стала понятна лишь после раскрытия внутреннего строения кристаллов. Она связана с решетчатым расположением атомов, ионов и молекул в трехмерном пространстве (О. Бравэ и др.).

История второго величайшего открытия связана с постепенной кристаллизацией понятия "кристаллическая решетка". Эта идея витала в воздухе. На нее, исходя из разных соображений, указывали многие.

Например, И. Кеплер приписывает кристалликам снежинок структуру, получающуюся при плотной укладке шариков одного диаметра. Аналогичные воззрения на структуру кристаллов каменной соли, квасцов и других веществ высказывались и Р. Гуком (1635 – 1703) в его "Микрографии" (Лондон, 1665). Однако Гук ограничивался рассмотрением расположения шариков лишь на плоскости. Далее, И. Ньютон (1643 – 1724) в "Оптике" (1675 г.) также предполагал, что при образовании кристаллов частицы устанавливаются в строй и ряды, поворачивая свои одинаковые стороны в одинаковом направлении и застывая в правильных фигурах. Аналогичные мысли высказывали Д. Гульельмини, X. Гюйгенс (1629 – 1695), М. Ломоносов и многие другие.

Пытаясь объяснить закон целых чисел, Гаюи на углах кристаллической решетки ставил многогранные молекулы; лишь в 1813 г. У. X. Волластон (1766 – 1828) заменил их шарами или просто математическими точками: тем самым идея кристаллической решетки приняла вполне современный вид. Основываясь на достигнутом, О. Бравэ в 1848 г. устанавливает, что всех типов кристаллических решеток лишь 14. Почва для вывода всех пространственных групп симметрии кристаллов уже как бесконечных фигур была готова.

Не позднее 1869 г. К. Жордан (1838 – 1922) в "Мемуаре о группах движений" находит 65 из них, содержащих только собственные (незеркальные) движения; Л. Зонке (1842 – 1897) применил эти группы в 1879 г. к кристаллографии. Вывод всех 230 пространственных групп симметрии был дан почти одновременно и независимо друг от друга Е. С. Федоровым в России (1890 г.) геометрически и А. Шенфлисом (1853 – 1928) в Германии (1891 г.) алгебраически на основе теории групп.

Открытия Федорова-Шонфлиса завершают целую эпоху в изучении симметрии в природе, и, прежде всего, кристаллов. Они позволили дать глубокое, исторически первое — кристаллографическое — учение о симметрии, оказавшееся частным случаем второго, геометрического, а затем и более фундаментального, одновременно и самого абстрактного (динамического) понимания симметрии.

Симметрия кристаллов

Правильную, симметричную форму кристаллов издавна объясняли симметричным расположением атомов. Само существование атомов было еще гипотезой, но внешнее проявление стройного порядка заставляло предполагать внутреннюю причину. Быть может, правильные пирамиды, сложенные из пушечных ядер, которые когда-то делались круглыми, наводили на мысль, что огранка кристаллов обязана способности атомов самостоятельно укладываться в стройном порядке. Слово "атом" значит неделимый, атомы считали такими же круглыми, гладкими и твердыми, как ядра.

Как ни примитивен такой взгляд с нашей нынешней точки зрения, он оказался необычайно плодотворным в науке о кристаллах, где и сейчас есть понятие плотной упаковки, такой, как в пирамиде, сложенной из шаров.

Давнее, чисто умозрительное учение о строении кристаллов принесло большую пользу еще и потому, что позволило правильно подойти к вопросу о возможных видах симметрии кристаллов.

Симметрия кристаллов — свойство кристаллов совмещаться с собой при поворотах, отражениях, параллельных переносах либо при части или комбинации этих операций. Симметрия внешней формы кристалла определяется симметрией его атомного строения, которая обуславливает также и симметрию физических свойств кристалла.

В наиболее общей формулировке симметрия — неизменность (инвариантность) объектов и законов при некоторых преобразованиях описывающих их переменных. Кристаллы — объекты в трехмерном пространстве, поэтому классическая теория симметрии кристаллов — теория симметричных преобразований в себя трехмерного пространства с учетом того, что внутренняя атомная структура кристаллов дискретная, трехмерно-периодическая. При преобразованиях симметрии пространство не деформируется, а преобразуется как жесткое целое. Такие преобразования называются ортогональными или изометрическими. После преобразования симметрии части объекта, находившиеся в одном месте, совпадают с частями, находившимися в другом месте. Это означает, что в симметричном объекте есть равные части (совместимые или зеркальные).

Симметрия кристаллов проявляется не только в их структуре и свойствах в реальном трехмерном пространстве, но также и при описании энергетического спектра электронов кристалла, при анализе процессов дифракции нейтронов и дифракции электронов в кристаллах с использованием обратного пространства.

Кристаллу может быть присуща не одна, а несколько операций симметрии. Так, кристалл кварца совмещается с собой не только при повороте на 120° вокруг оси 3, но и при повороте вокруг оси 3 на 240°, а также при поворотах на 180° вокруг осей 2x, 2y, 2w. Каждой операции симметрии может быть сопоставлен элемент симметрии — прямая, плоскость или точка, относительно которой производится данная операция. Например, ось 3 или оси 2x, 2y, 2w являются осями симметрии, плоскость m — плоскостью зеркальной симметрии и т. п. Совокупность операций симметрии {g1, g2,…, gN} данного кристалла образует группу симметрии G (g1, g2,… gN) в смысле математической теории групп. Последовательность проведения операций симметрии также является операцией симметрии. В теории групп это обозначается как произведение операций: g1 g2 = g3. Всегда существует операция идентичности g0, ничего не изменяющая в кристалле, называемая отождествлением, она геометрически соответствует неподвижности объекта или повороту его на 360° вокруг любой оси. Число операций, образующих группу, называется порядком группы. Для описания кристаллов используют различные группы симметрии, из которых важнейшими являются точечные группы симметрии, описывающие внешнюю форму кристаллов; их называют также кристаллографическими классами; пространственные группы симметрии, описывающие атомную структуру кристаллов.

Вместо инверсионных поворотов иногда рассматриваются эквивалентные им зеркальные повороты N. Геометрически возможные сочетания операций точечной симметрии определяют ту или иную точечную группу симметрии, которая изображается обычно в стереографической проекции. При преобразованиях точечной симметрии, по крайней мере, одна точка объекта остаётся неподвижной — преобразуется сама в себя. В ней пересекаются все элементы симметрии, и она является центром стереографической проекции.

В кристаллах, ввиду наличия кристаллической решётки, возможны только операции и соответственно оси симметрии до 6-го порядка (кроме 5-го; в кристаллической решётке не может быть оси симметрии 5-го порядка, т. к. с помощью пятиугольных фигур нельзя заполнить пространство без промежутков).

Для описания точечной группы симметрии достаточно задать одну или несколько порождающих её операций симметрии, остальные её операции (если они есть) возникнут в результате взаимодействия порождающих.

Группы, содержащие лишь повороты, описывают кристаллы, состоящие только из совместимо равных частей (группы 1-го рода). Группы, содержащие отражения или инверсионные повороты, описывают кристаллы, в которых есть зеркально равные части (группы 2-го рода). Кристаллы, описываемые группами 1-го рода, могут кристаллизоваться в двух энантиоморфных формах ("правой" и "левой", каждая из которых не содержит элементов симметрии 2-го рода), позеркально равных друг другу.

Группы симметрии кристаллов несут в себе геометрический смысл: каждой из операций gi G соответствует, например, поворот вокруг оси симметрии, отражение в плоскости. Некоторые точечные группы в смысле теории групп, учитывающей лишь правила взаимодействия операций gi gi = gi в данной группе (по не их геометрический смысл), оказываются одинаковыми, или изоморфными друг другу.

Точечные группы описывают симметрию не только кристаллов, но любых конечных фигур. В живой природе часто наблюдается запрещённая в кристаллографии точечная симметрия с осями 5-го, 7-го порядка и выше.

Предельные группы

Функции, которые описывают зависимость различных свойств кристалла от направления, имеют определённую точечную симметрию, однозначно связанную с группой симметрии огранения кристалла. Она либо совпадает с ней, либо выше неё по симметрии.

В отношении макроскопических свойств кристалл может описываться как однородная непрерывная среда. Поэтому многие из свойств кристаллов, принадлежащих к тем или иным точечным группам симметрии, описываются т. н. предельными точечными группами, содержащими оси симметрии бесконечного порядка, обозначаемые символом . Наличие оси означает, что объект совмещается с собой при повороте на любой, в том числе и бесконечно малый угол. Зная группу кристаллов, можно указать возможность наличия или отсутствия в нем некоторых физических свойств.

Пространственные группы симметрии.

Пространственная симметрия атомной структуры кристаллов описывается пространственными группами симметрии G2. Они называются также фёдоровскими в честь нашедшего их в 1890 Е. С. Фёдорова; эти группы были независимо выведены в том же году А. Шёнфлисом. В противоположности точечным группам, которые были получены как обобщение закономерностей форм кристаллических многогранников, пространственные группы явились продуктом математическо-геометрической теории, предвосхитившей экспериментальные определения структуры кристаллов с помощью дифракции рентгеновских лучей.

Характерными для атомной структуры кристаллов операциями являются 3 некомпланарные трансляции а, b, с, которые задают трёхмерную периодичность кристаллической решётки. Кристаллическая решётка рассматривается как бесконечная во всех трёх измерениях. Такое математическое приближение реально, т. к. число элементарных ячеек в наблюдаемых кристаллах очень велико. Перенос структуры на векторы а, b, с или любой вектор t = p1a + p2b + p3c, где p1, p2, p3 — любые целые числа, совмещает структуру кристалла с собой и, следовательно, является операцией симметрии (трансляционная симметрия).

Физическая дискретность кристаллического вещества выражается в его атомном строении. Пространственные группы G2 — это группы преобразования в себя трёхмерного однородного дискретного пространства. Дискретность заключается в том, что не все точки такого пространства симметрически равны друг другу, например, атом одного и атом другого сорта, ядро и электроны. Условия однородности и дискретности определяет тот факт, что пространственные группы — трёхмерно периодические, т. е. любая группа G2 содержит подгруппу трансляций T — кристаллическую решётку.

Вследствие возможности комбинирования в решётке трансляций и операций точечной симметрии в группах G2 кроме операций точечной симметрии возникают операции и соответствующие им элементы симметрии с трансляционной компонентой — винтовые оси различных порядков и плоскости скользящего отражения.

Если задать внутри элементарной ячейки какую-нибудь точку x (x1 x2 x3), то операции симметрии преобразуют её в симметрично равные ей точки во всём кристаллическом пространстве; таких точек бесконечное множество. Но достаточно описать их положение в одной элементарной ячейке, и эта совокупность уже будет размножаться трансляциями решётки. Совокупность точек, выводимых из данной операциями gi группы G — x1, x2,…, xn -1, называют правильной системой точек (ПСТ).

Для каждой пространственной группы имеются свои совокупности ПСТ. Правильная система точек общего положения для каждой группы одна. Но некоторые из ПСТ частного положения могут оказаться одинаковыми для различных групп.

Роль пространственных групп симметрии кристаллов

Пространственные группы симметрии кристаллов — основа теоретической кристаллографии, дифракционных и иных методов определения атомов структуры кристаллов и описания кристаллических структур.

Дифракционная картина, получаемая методом рентгенографии, нейтронографии или электрографии, позволяет установить симметрийные и геометрические характеристики обратной решётки кристалла, а следовательно, и самой структуры кристалла. Так определяют точечную группу кристалла и элементарную ячейку; по характерным погасаниям (отсутствие определённых дифракционных рефлексов) определяют тип решётки Браве и принадлежность к той или иной пространственной группе. Размещение атомов в элементарной ячейке находят по совокупности интенсивностей дифракционных рефлексов.

Большую роль играют пространственные группы в кристаллохимии. Определено более 100 тыс. кристаллических структур неорганических, органических и биологических соединений. Любой кристалл относится к одной из 230 пространственных групп. Оказалось, что почти все пространственные группы реализованы в мире кристаллов. Хотя одни из них встречаются чаще, другие — реже.

В теоретической кристаллографии пространственные группы позволяют развить теорию разбиения пространства на равные области, в частности полиэдрические.

Обобщённая симметрия

В основе определения симметрии лежит понятие равенства при преобразовании. Однако физический (и математический) объект может быть равен себе по одним признакам и не равен по другим. Например, распределение ядер и электронов в кристалле антиферромагнетика можно описать с помощью обычной пространственной симметрии, но если учесть распределение в нём магнитных моментов, то "обычной", классической симметрии уже недостаточно. К подобного рода обобщениям симметрии относятся антисимметрия и цветная симметрия.

В антисимметрии, в дополнение к трём пространственным переменам x1, x2, x3, вводится добавочная, 4-я переменная x4 = ± 1. Это можно истолковать таким образом, что при преобразовании функция F может быть не только равна себе, как в равенстве, но и "антиравна" — изменит знак. Существует 58 групп точечной антисимметрии G30 и 1651 пространственная группа антисимметрии G3 (шубниковские группы).

Если добавочная переменная приобретает не два значения, а больше (возможны 3, 4, 6, 8,…,48), то возникает т. н. цветная симметрия Белова. Так, известна 81 точечная группа G30 и 2942 группы G30. Основные приложения обобщённой симметрии в кристаллографии — описание магнитных структур.

Найдены и другие группы антисимметрии (кратной и др.). Теоретически выведены и все точечные и пространственные группы четырёхмерного пространства и более высоких измерений. На основе рассмотрения симметрии (3 + К)-мерного пространства можно также описывать несоразмерные в трёх направлениях модулированной структуры.

Другие обобщение симметрии — симметрия подобия, когда равенство частей фигуры заменяется их подобием, криволинейная симметрия, статистическая симметрия, вводимая при описании структуры разупорядоченных кристаллов, твердых растворов, жидких кристаллов и др.

Биосимметрия

Структурная — молекулярная

Содержание этого вида симметрии мы раскроем постепенно, переходя от нульмерных групп симметрии биомолекул к одно-, двух, трехмерным. Из всех точечных групп симметрии для "мономерных" молекул наиболее характерны лишь две — п и п т, при этом обычно п = 1, 2,..., k, где k — величина небольшая. Поэтому наиболее распространенными группами здесь оказываются соответственно 1 и т, 2 т , 3 т... Первая характерна, например, почти для всех оптически активных — асимметрических — мономерных или олиго-сахаров, алкалоидов, многих аминокислот; вторые группы наиболее характерны для всякого рода оптически неактивных, часто запасных веществ. Однако недиссимметрическими группами иногда приходится описывать симметрию, подчас и чрезвычайно метаболически активных веществ (некоторые азотистые основания). Последнее обстоятельство резко ограничивает эмпирическое обобщение Г. Ф. Гаузе об обязательной диссимметричности метаболически активных соединений. Действительная картина здесь, таким образом, оказывается сложнее.

Аминокислоты, пуриновые и пиримидиновые азотистые основания, сахара и т. д., так или иначе химически взаимодействуя, "кристаллизуются" в полимерные, вытянутые в одном направлении цепные молекулы — белки, нуклеиновые кислоты, целлюлозу, крахмал гликоген и другие соединения Выше мы видели, что цепные молекулы относятся к стержням, поэтому их симметрия должна исчерпываться всего 17 типами, охватывающими бесконечное множество видов симметрии. Однако учет характера взаимодействия между атомами "хребта" и боковых радикалов цепной органической молекулы, тенденций перехода в энергетически наиболее выгодное состояние и других факторов позволяет утверждать, что в природе наиболее часто должны встречаться ценные молекулы, принадлежащие к 13 группам симметрии стержней с N = 1 и к двум типам с винтовой осью "порядка" М — 8vy5k/2.

Учет симметрии возможных конфигураций ковалентных связей главной оси — (2), (3), (3), (4) делает потенциально возможным для отдельных цепных молекул еще 30 групп, что дает всего 45 групп. Число "кристаллографических" групп цепных структур равно, как известно, 75. С возникновением живой природы число наиболее часто встречающихся групп резко уменьшается — до 4. Эти группы — диссимметрические: t, t/2, SM/2, где t— ось трансляции (обозначения международные). Например, целлюлоза относится к группе S2, полипептиды в конфигурации -спирали — к S18/5.

Отдельные цепные молекулы могут давать образования из 2, З... цепочек. Если они связываются водородными связями, то их называют сложными, цепными молекулами; ван-дер-ваальсовыми (по принципу плотной упаковки; в первом случае он не выдерживается) — пучками; если сложная цепная молекула образована из химически различных единиц, то она называется комплексной цепной молекулой.

Сложные и комплексные цепные молекулы, пучки возникают, главным образом, в биосистемах; они оптически активны, представлены одной энантиоморфой. Поэтому они относятся к диссимметрическим группам стержней: tN, SмN, tN/2, SMN/2. Однако учет меньшей устойчивости четверных и пятерных (чем двойных и тройных) цепей, спирализации как общего способа последовательной упаковки звеньев цепных молекул делает наиболее вероятным для сложных цепных молекул групп SM2, SM/2, SM3, пучков — Sм, Sм3, комплексных цепных молекул —Sм2. Так, сложная цепная молекула ДНK относится к группе Sм/2, полиадениловая кислота — к S2, полиинозиновая — к Sм3, комплексная цепная молекула вируса табачной мозаики — к S49/3. Последняя построена из уложенных по одноходовому пологому витку белковых субъединиц, внутри которых идет цепочка РНК. На каждую субъединицу приходится три нуклеотида; на три оборота молекулы приходится 49 белковых субъединиц. Другие примеры комплексной ценной молекулы — ДНК-протеиды. Здесь полипептидная цепь белка обвивает молекулу ДНК по малой канавке. Так как эта цепочка одиночная, симметрия нуклеопротеида — Sм, хотя самой ДНК — Sм/2.

Другой способ объединения цепных молекул приводит к плоским двумерным фигурам — слоям. Причем сами цепные молекулы могут лежать в плоскости слоя или перпендикулярно ему (классический пример последних — парафины). Наиболее распространены слои первого рода, которые мы и рассмотрим.

Из 80 групп симметрии слоев для слоев из цепных молекул из-за особенностей их пространственного строения в первом приближении возможными оказываются 42 группы. Ограничения плотной упаковки доводят их число до 19, а наиболее плотную упаковку фигур в слои позволяют всего 4 группы симметрии: tt'с, tt'1, S2t, З2с. При переходе к биологическим, например, мембранным, слоям число групп симметрии с 19 понижается из-за энантиоморфизма до 9: tt', tt'2, 2t, 21t, 2(21)t, 222, 2122, 21212, 21(2)21(2)2 (NB: S2 = 21). Классические примеры биологических слоев — складчатые слои полипептидных цепей, предложенные Паулингом и Кори. Они могут быть параллельные и антипараллельные. Другой их пример — уже отмеченные мембранные слои.

При объединении полимеров в трех взаимно перпендикулярных направлениях пространства возникает ряд различных агрегатов, на одном конце которого идеальные кристаллы, на другом — совершенно аморфные вещества. Для живой природы характерны формы веществ, в той или иной мере отклоняющиеся от идеальных кристаллов и абсолютно аморфных тел.

Здесь, с одной стороны, наблюдается из-за богатства биополимеров Н-связями тенденция к самоагрогированию, и, как следствие, к образованию форм в той или иной мере упорядоченных — лент, складчатых кристаллов, кристаллов из слоев коротких цепных молекул и т. д. Так, хорошо изученная кросс- -конфигурация кератина является лентой из одной полипептидной цепи, построенной по типу антипараллельного складчатого слоя. Другой пример. Как известно, в молекулах РНК в зависимости от ионной силы раствора и его температуры меняется число Н-связей, и это, как следствие, приводит к трем формам их существования: нитям, палочкам (аналогам лент), клубкам.

С другой стороны, из-за больших и разнообразных длин цепных молекул, их гибкости, взаимодействия с соседями, спутывания, скручивания, образования прочных межцепных ковалентных связей между молекулами, например типа дисульфидных связей в каучуках, возникновение идеально упорядоченных во всем объеме кристаллов невозможно. Кроме того, такие квазикристаллы, в свою очередь, часто образуют в различной степени упорядоченные образования — мозаичные монокристаллы, текстуры, поликристаллы и т. д.

Особенности упорядочивания атомов и молекул в нуль-, одно-, двух-, трехмерные биологические образования дали повод Дж. Берналу выступить с идеей обобщенной кристаллографии, характерной, прежде всего, для живой природы. Она имеет дело уже не с "бесконечно" упорядоченными структурами, а со структурами с частичной упорядоченностью расположения атомов. Характернейшая ее особенность — учение о статистической — средней, наиболее часто встречающейся, вероятной — симметрии, с одной стороны, и нуль-, одно-, двух-, трехмерной "кристаллизации" (упорядоченности) — с другой.

Разумеется, такой переход к изучению кристаллов с нарушенной структурой стал возможным и исторически, и логически только после известного завершения учения об идеальных кристаллах. Он привел, как известно, к обоснованию молекулярной биологии. При обращении к учению о последних и фактам о реальных кристаллах стало возможным классифицировать различные типы нарушений. По Б. К. Вайпштсйну, основные их формы следующие: сдвиги, повороты, нарушения сетки и параллельности цепей; остальные их формы выводятся в результате комбинирования основных. К сказанному добавим, что в одних и тех же кристаллах во времени наблюдаются как процессы увеличения, так и уменьшения нарушений.

В заключение отметим резко проявляющееся в полимерных биомолекулах диалектическое единство асимметричного и симметричного, иррегулярного и регулярного строений. В белках естественного происхождения это проявляется, например,

в асимметричности и нерегулярности их первичного строения (из-за уникальной линейной последовательности различных L- и реже D-аминокислот);
в симметричности и регулярности их вторичного строения (часто из-за винтового закручивания всей или части полипептидной цепи);
в резкой асимметричности и нерегулярности их третичного строения (из-за сложения полипептидной цепи — поодиночке или в соединении с другими цепями в причудливые извитые трехмерные структуры, которые мы знаем как белковые молекулы);
в столь же резкой симметричности и регулярности их четвертичного строения (из-за укладки идентичных белковых молекул в кристаллические и в квазисталлические структуры).
Аналогично обстоит дело и с нуклеиновыми кислотами. В частности, первичная структура "молекулы жизни" — ДНК асимметрична и нерегулярна из-за уникальной последовательности нуклеотидов, в то время как ее вторичная структура явно симметрична и регулярна из-за винтовой закрученности двух ее цепей.

В итоге сравнения неживой и живой природы на молекулярном уровне неминуем эмпирический вывод о резкой диссимметризации, происшедшей при переходе от неживой природы к живой:

величина симметрии;
число возможных групп сильно уменьшаются;
наблюдается четко проявляющееся единство асимметрического и симметрического планов строения в основных "молекулах жизни", превращения типа "симметризация диссимметризация".
Отсюда неизбежен вывод о специфическом характере биологической симметрии на молекулярном уровне.

Структурная — морфологическая

Несколько иные закономерности наблюдаются при изучении симметрии биосистем на так называемом "морфологическом", или надмолекулярном, уровне. Симметрия органелл, клеток, тканей, органов, растений, животных, различных совокупностей последних изучена далеко не в одинаковой степени. Пожалуй, наиболее достоверные в этом отношении сведения получены лишь зоологами и ботаниками. Поэтому мы в первую очередь рассмотрим именно эти сведения.

В. Н. Беклемишев в двух томах своих классических "Основ сравнительной анатомии" приводит обширный материал по интересующему нас вопросу. Ниже мы рассмотрим его данные, уточняя их по ходу изложения и заменяя словесные описания видов симметрии математическими группами.

Наиболее примитивны среди простейших амебы. В силу неопределенности формы их тела можно говорить лишь о преимущественной их асимметричности — группе (1) (анаксонной), хотя эта их асимметрия может, в сущности, переходить в любую симметрию, присущую конечным фигурам.

Симметрия следующих по развитию организмов — клеток колониальных радиолярий Соllоzооn, взрослых кокцидий, покоящихся стадий многих других Protozoa — шаровая. Им присущи все мыслимые элементы симметрии конечных фигур. Эти формы характеризуются лишь одним градиентом свойств — от центра к периферии (у амеб — от глубины к поверхности).

Большинство солнечников (Неliоzоа), множество радиолярий и других Ргоtоzоа относятся к типу n/m• п, где п — конечная, но неопределенная величина (неопределенно-полиаксонные формы).

Заметная диссимметризация произошла с возникновением правильных полиаксонных форм, которые наблюдаются, прежде всего, среди радиолярий. Замечательно, что число и вид их симметрии соответствуют числу и виду симметрии правильных многогранников: m – 2/3 (тетраэдр), т·4/3 (куб и октаэдр), т 5/3 (додекаэдр и икосаэдр). При учете и физических свойств ("штриховки") граней многогранников число "групп возрастает до 7 благодаря 4 дополнительным группам: т: 2/3, 4/3, 2/3, 5/3. Этими же группами описывается симметрия и равногранников — изоэдров. Интересно здесь и то, что радиолярии, характеризуемые симметрией додекаэдра и икосаэдра — т 5/3, обладают и запрещенными для кристаллов пятерными осями. Известно, что среди кристаллов додекаэдры и икосаэдры именно из-за осей (5) невозможны.

Формы с симметрией п: т 2 зоологи называют ставраксонными гомополярными (с перекрывающимися осями, неполярными). Из геометрических фигур такой симметрией обладают, например, цилиндр, биконус, эллипсоид, прямые призмы с правильными многоугольниками в основании и т. д. Среди Рrotozoa такая симметрия, точнее, оо: / т 2 присуща, например, раковине корненожки Orbitolites, имеющей форму короткого отрезка цилиндра вроде монеты, многим веретенообразным спорам грегарин, некоторым радиоляриям, прежде всего, из отряда Spummellaria. Есть и такие организмы, у которых п = 1, 2, 3, 4, 5... Во многих случаях, например среди ставраксонных радиолярий, удается проследить возникновение форм с определенным конечным /г из форм с неопределенно большим п. Таковы, например, Trigonocyclia симметрии 3:т•2, выводимые эволюционно из чечевицеобразных Discoidea с главной осью неопределенно большого порядка.

Все названные фигуры характеризуются одной главной осью порядка п с га, пересекающимися в ней вертикальными плоскостями симметрии. Последние пересекает одна горизонтальная плоскость с п параллельными ей осями симметрии второго порядка. У таких фигур есть, таким образом, и центр симметрии. Переход ставраксонно-гомополярных простейших к сидячему образу жизни или к активному движению в среде привел к исчезновению у них поперечной плоскости симметрии, а вместе с ней и центра симметрии и всех осей второго порядка. Такая диссимметризация привела к смене симметрии га:т•2 видом п•т, которую зоологи называют монаксонно-гетерополярным, так как оба полюса организма становятся различными. Часто этот вид биологами обозначается и как радиально-симметричный. Это один из распространеннейших видов симметрии живой природы. Сюда относятся, например, раковины ряда корненожек, споры некоторых грегарин, скелеты множества радиолярий, некоторые Flagellata и т. д. Причем величина п = 1 . Так, раковина корненожки Lagena hispida За принадлежит к группе оот, радиолярия Medusetta — к 4 т, споры почти всех Myxosporidia — к 2 т, наконец, жгутиковые Protomonadina и Роlymastigina, раковины некоторых фораминифер, некоторые радиолярии — к 1 т = т, т. е. у них двусторонняя, или билатеральная, симметрия, получающая широчайшее распространение среди многоклеточных. Известно, что в той или иной мере она присуща, например, почти всем хордовым, рыбам, земноводным, млекопитающим.

Из сказанного видно, что симметрия от лишь частный, хотя практически и самый важный, случай симметрии /г /п. Следовательно, ее не следует выделять наряду с классом п т, как часто делают зоологи и ботаники.

Другой вид диссимметризации организмов с симметрией п т привел к возникновению форм с симметрией, исчерпывающейся одной простой (вид (n)) или винтовой (вид (n)) осью симметрии (п = п = 1 ). Этот вид симметрии нами был назван аксиальным. Относящиеся сюда биообъекты могут существовать в двух модификациях — D и L, обычно представленных одной или преимущественно одной модификацией. К ним относятся веретенообразная эвглена (п = 30), инфузории (n = 1), некоторые трихонимфиды, неридинеи. В связи с этим В. И. Беклемишев отмечает, что асимметрия амеб — результат отсутствия, а инфузорий и перидиней — наличия строгого плана строения их тела. Между асимметрией первых и вторых огромная разница.

Как уже упоминалось, билатеральная симметрия (т) многоклеточных (Metazoa) приблизительна. В действительности из-за сложнейшего плана и чрезвычайной дифференцировки их тела, при котором симметрическое повторение частей, строго говоря, исключается их разносторонней специализацией и относительно точным распределением их по определенным местам, они многократно асимметризированы и симметрия (1) становится преобладающей. Тем самым важнейшей становится и связанная с группой (1) проблема правизны и левизны.

Касаясь области ботаники, мы ограничимся данными по симметрии венчиков высших растений, которая исчерпывается всего двумя классами — n и n x m. Нами совместно с профессором МГУ Н. Н. Каденом на 56285 экземплярах венчиков цветков растений, принадлежащих к 57 видам 26 семейств, установлено, что на низших ступенях эволюции венчики представлены множеством форм симметрии (и здесь положение вполне аналогично распространению видов симметрии в животном мире), хотя все же и на этом этапе резко преобладают формы симметрии (n), и в особенности (1). При этом SD " SL форм. Затем по ходу эволюции один вид симметрии за другим выпадает, и на вершинах древа жизни остаются венчики симметрии преимущественно (5), (1), причем SD > > SL или SL > > SD. Эти обстоятельства вносят поправку (на зависимость от эволюционного положения) в представления о закономерностях встречаемости D, L, DL-, форм в живой природе, а также в представления о широчайшем распространении в живой природе в целом так называемой пятерной симметрии, в частности (5) и 5 m.

Далее, важно заметить, что эволюция симметрии не прямолинейна, подчас преимущественная по роли диссимметризация сменяется на отдельных этапах симметризацией и наоборот; изменение симметрии по отдельным ветвям древа жизни имеет свои особенности. Например, анализируя симметрию иглокожих, В. Н. Беклемишев пишет: "Рассматривая организацию иглокожих на различных стадиях их онтогенеза и филогенеза, можно констатировать необычайно сложные и закономерные изменения симметрии их тела". Он выделяет следующие 7 ступеней:

первичную (до бластулы) симметрию зародыша ежа вида 4 • т или 8 • m;
сменяемую позднее у диплеврул видами 2 x m;
и m; "ни у одного взрослого иглокожего никаких следов этих трех первых форм симметрии не сохраняется";
асимметрию (1) цистидей;
вторичную двустороннюю симметрию — т — высших Pelmatozoa (с этого момента диссимметризация сменяется симметризацией);
вторичную радиальную симметрию 5 • от: она "охватывает большую часть организации современных иглокожих или, по крайней мере, так называемых правильных форм; у некоторых фигур полностью охватывает всю организацию. Интересно отметить, что у некоторых диплопорит и эндриоастероидей наблюдается 5-лучевая симметрия чисто вращательного типа";
вторичную ассимметрию (1) Eleutherozoa.
К сожалению, филогенетическая эволюция симметрии по ходу отдельных ветвей древа жизни практически не изучена. Здесь явно необходимы планомерные исследования. Они могут привести к крупным открытиям и обобщениям.

Что касается характера изменения симметрии организмов в их онтогенезе, то помимо данных, приведенных выше, можно сослаться также и на интереснейшие результаты М. Д. Велибекова, полученные им при изучении ряда бобовых и других растений (подсолнечник, гречиха).

Он указывает, что обычно "в процессе развития состояние беспорядочной ориентации (чередования) и связи правых и левых метамеров, свойственное ювенильному растению, заменяется константной; в дальнейшем (чаще на уровне цветок, плод, зародыш) ориентация и связь вновь становятся неопределенными". Иначе: в их онтогенезе статистически начальная симметризация сменяется диссимметризацией, а последняя — снова симметризацией. Одновременно чаще одинаковые по частоте встречаемости и другим свойствам D и L фитоформы этих растений, их низкие полярность, целостность, пространственно-временная организованность, большие полиморфичность (информационная), энтропия, евклидовость в начале развития заменяются в ходе развития на неодинаковые по свойствам (в том числе встречаемости) D и L фитоформы, повышенные полярность, целостность, пространственно-временную организованность, пониженные полиморфичность, энтропию, евклидовость. В дальнейшем, в ходе отрицания отрицания, все эти показатели как бы снова возвращаются к исходным состояниям. И вот что замечательно: "Развитие информации, энтропии, пространственных характеристик циклично и обычно следует математическим закономерностям ряда золотого сечения".

Разумеется, отмеченные М. Д. Велибековым закономерности применимы не ко всем растениям, даже не ко всем бобовым. Возможно, в будущем будут точнее описаны и сами эти закономерности. Но при всем этом нельзя не отметить огромной ценности самого подхода, выдвинутых им характеристик, полученных данных, новизны развиваемого им направления в биосимметрике.

В итоге мы видим, что на морфологическом уровне:

Величина симметрии организмов в ходе эволюции жизни закономерно в тенденции падает, образуя многоветвистые эволюционные ряды симметрии.
На низших ступенях организмы представлены множеством видов симметрии. При этом их число много больше 32 — числа видов симметрии кристаллов. Однако к вершинам эволюционного древа число видов симметрии резко уменьшается, возникают многократно асимметризованные формы.
Как и на уровне цепных молекул, появляются макробиоформы с запрещенными для кристаллов осями симметрии порядка 5, 7, 8, 9... Однако вопреки широко известному взгляду пятерная ось получает большое распространение не на всех, а лишь на определенных ступенях развития живого, как и двусторонняя симметрия т.
Как в онто-, так и в филогенезе имеют место переходы типа диссимметризация – симметризация, причем процесс в целом сильно сдвинут в сторону диссимметризации. Таким образом, и на макроуровне биологическая симметрия обнаруживает ряд специфических черт, что с новых сторон подтверждает положение В. И. Вернадского о специфическом характере биологического пространства.
Приведенные факты показывают, что воззрения на природу, построенные с позиций только одной из рассмотренных противоположностей, односторонни и, в конечном счете, неверны. Мир есть в рассматриваемом аспекте, насколько мы можем судить о нем с поправкой на сегодняшний уровень знаний, единство взаимоисключающих, обусловливающих, дополняющих, борющихся, переходящих друг в друга противоположностей, созидающих и одновременно нарушающих симметрию.

Структурная — неклассическая

Приведенные в двух предыдущих параграфах данные позволяют сделать еще одно утверждение: на биообъектах реализована классическая симметрия абсолютно всех размерностей — точечная, линейная, плоская, пространственная. Однако не только классическая. Хотя биосимметрия с точки зрения различных неклассических теорий симметрии не изучена, ниже мы укажем, по крайней мере, на отдельные примеры реализации в живой природе главнейших из открытых в последние 50 лет симметрии.

Просто и l-кратно антисимметричны все те организмы и их части, которые обладают l+1= n диссфакторами. Таковы, например, диссимметрические корни, стебли, листья, побеги, чашечки, венчики, цветки многих растений; внутреннее строение животных, множество оптически активных биологических соединений — сахаров, аминокислот, белков, нуклеиновых кислот и т. д. Еще один конкретный пример, антисимметрии можно найти в работе Маизенхаймера, Нормана и Штербе. Они сообщают о существовании у некоторых рыб, например анаблепс, двух половых рас. Одна половая раса состоит из D самцов и L самок; другая, напротив, из L самцов и D самок. Оплодотворение оказалось возможным только в пределах своей I половой расы и невозможным между L самцами и L самками, а также D самцами и D самками.

С точки зрения учения о симметрии составляющие эти расы особи равны, симметричны (в известном приближении) друг другу в нескольких смыслах. Для более четкого их выявления примем только следующие обозначения: левое и правое по-прежнему будем обозначать буквами L и D, женский и мужской пол — знаками "+" и "-". Тогда мы придем к следующим равенствам:

совместимому (между особями L+ и L+, L- и L-, D+ и D+, D- и D-);
зеркальному (между особями L+ и D+, L- и D-);
совместимому антиравенству (между особями L- и L+, D- и D+);
зеркальному антиравенству (между особями L+ и D-, L- и D+).
Других случаев не существует. Заметим, что первые два равенства охватываются классической теорией симметрии, а все четыре — теорией антисимметрии.

Цветную симметрию выявляют биокристаллы, побеги растений с изменяющимися по ходу стебля формами листьев, венчики цветков растений с морфологически различными лепестками и вообще все такие биообразования, качества которых могут принимать три и более различных состояний одной природы.

Симметрия подобия реализуется на биообъектах при их подобном росте и воспроизведении; она прекрасно видна на головках подсолнечника, раковинах некоторых моллюсков, верхней части побегов ряда растений.

Гомологическую, или аффинную, симметрию выявляют динамическая симметрия биокристаллов, некоторые так называемые аффинно уродливые организмы.

Криволинейную симметрию обнаруживают, кроме рядов развития раковин брахиопод и цефалопод, искривленные побеги стебли, корни, листья растений. Рассмотрим один из примеров подробнее. Нередко можно наблюдать, как билатерально-симметричные S-листья (первого яруса) фасоли по мере роста искривляются, приобретая L или D конфигурацию. Мы экспериментально показали (неопубликованные данные), что превращение S-листьев в L или D вызвано повышением содержания в меньших половинках L и D листьев ингибиторов (в частности, фенольной природы) и понижением содержания активаторов роста (типа ауксинов) и, наоборот, с повышением содержания в больших половинках этих листьев активаторов и понижением содержания ингибиторов роста. С этой картиной хорошо коррелировала и активность соответствующих ферментов и их ингибиторов. В результате, уже искусственно изменяя содержание ингибиторов или активаторов роста, например, нанося их (после выделения из листьев) на те или иные половинки листа, нам удалось вызвать все мыслимые превращения форм листьев друг в друга.

Приведенные факты интересны с трех точек зрения.

Во-первых, с ботанической. Любой ботаник сказал бы, что S-лист симметричен, а L и D — асимметричны. И это было бы так с точки зрения классического учения о симметрии и совершенно несправедливо с точки зрения учения о криволинейной симметрии. Действительно, после превращения из-за неравномерного роста половинок S-листа в L или D бывшая у S -листьев прямая плоскость симметрии не исчезает бесследно, а превращается в криволинейную плоскость отражения. В результате, как и S-листья, L и D листья также по-своему зеркально-симметричны: под действием отражения в сферическом зеркале у каждого из них меньшая половинка становится большей, большая — меньшей, а лист в целом самосовмещается.

Во-вторых, эти факты интересны с точки зрения теории симметрии. Вплоть до последнего времени теоретики считают, что наличие в объекте зеркальных элементов исключает какую бы то ни было возможность быть этому объекту L или D. Действительно, наличие зеркальной плоскости исключает способность S-листа быть L или D, но не мешает быть L или D искривленным листьям! И это, конечно, не случайно: у S-листа зеркальная плоскость прямолинейная, сохраняющая при отражениях расстояния между соответственными точками половинок, а у L и D листьев эта плоскость криволинейная, при отражениях не сохраняющая расстояний между соответственными точками половинок, "делая" их L или D. Разумеется, сказанное верно не только по отношению к листьям, но и по отношению к любым аналогичным объектам (например, к искривленным кристаллам кварца и серы). Таким образом, ограниченно справедливым оказывается одно из самых, казалось бы, незыблемых утверждений теории структурной симметрии.

В-третьих, эти факты интересны с точки зрения метода кристаллохимического анализа Е. С. Федорова, позволяющего по величине углов между гранями кристалла предсказывать с определенной вероятностью вещества, его слагающие. Приведенные выше биологические факты с S, L, D листьями интересны тем, что они указывают на явную возможность расширения границ федоровского метода, распространения его на биологические образования. Можно и по их форме судить с определенной вероятностью о биофизикохимических и физиологических их особенностях (и наоборот). В данном случае это выразилось в том, что мы:

констатировали возникновение из S-листьев искривленных L и D с неравными половинками;
возложили "ответственность" за правизну и левизну, а также неодинаковость половинок, на регуляторы роста, их ферментные системы и ингибиторы;
в соответствии с истинной симметрией форм S, L, D листьев построили гипотезу о пространственном распределении регуляторов роста, ферментов, ингибиторов, ожидая вполне определенные с точки зрения закономерностей форм S, L, D листьев результаты;
подтвердили гипотезу биохимическими анализами;
зная эти закономерности, по строгому плану изменили формы одних листьев в формы других.
В заключение отметим: мы не думаем, чтобы теоретико-групповое изучение биообъектов свелось к формулировке получаемых результатов на языке только уже известных теорий симметрии. Дело в том, что, так или иначе, выявление видов симметрии конкретных биообъектов связывается с выявлением способов упаковки тех или иных компонентов в эти биообъекты. Часть из них удавалось и наверняка удастся расшифровать на основе стандартных экспериментальных методов и методов уже известных теорий структурной симметрии. Однако для расшифровки другой части биоупаковок рамки существующих теорий структурной симметрии придется существенно расширить хотя бы для математического анализа и вывода всех возможных способов заполнения пространств без и (или) с промежутками, нежесткими и (или) жесткими, растущими и (или) не растущими, часто неправильной конфигурации выпуклыми и (или) вогнутыми компонентами. Для лучшего уяснения этой идеи полезно сравнить способы заполнения пространства в блоках кирпичами со способами заполнения пространства в апельсинах сочными ячейками. Понятно, что выявление видов биологических упаковок поможет глубже понять сущность жизни. С другой стороны, оно может буквально революционизировать производство тары и упаковок, производство, без которого, как известно, не обходится ни одна отрасль народного хозяйства.

Геометрическая и динамическая

Как известно, проблема биологического пространства (и биологического времени) во всем ее объеме впервые была поставлена в четырех выпусках "Проблем биогеохимии" и в "Биогеохимических очерках" еще В. И. Вернадским. Основываясь на некоторых биологических данных и результатах своих бесед с математиками М. М. Лузиным, Б. Н. Делоне и С. И. Финиковым, В. И. Вернадский полагал, что геометрией такого пространства может быть одна из указанных Э. Картаном, но не разработанных далее ри-мановых геометрий. В такой геометрии пространство должно было сводиться к точке, снабженной зародышем вектора посолонного (правого) или противосолонного (левого, против солнца) типа. В. И. Вернадский считал, что для этого пространства должна быть характерна неодинаковая встречаемость L и D форм, наличие в нем кривых линий и поверхностей. Последнее в своей концепции криволинейной симметрии, как мы помним, подчеркивал и академик Д. В. Наливкин (см. выше).

Сейчас, исходя из учения о континуумах — пространствах, непрерывных во всех трех направлениях, примерами которых могут быть однородные и изотропные среды внутри вакуоль; о семиконтинуумах — пространствах, прерывных в одних и непрерывных в других направлениях, примерами которых могут быть системы мышечных волокон или бесконечная стопка карандашей; о дисконтинуумах — пространствах, прерывных во всех направлениях, примерами которых могут быть решетчатые структуры биокристаллов, ферментов и вирусов, трехмерные сообщества организмов, двумерные орнаменты чешуи рыб, клеток биологических срезов, листьев при их мозаичном взаиморасположении, складчатые слои полипептидных цепей, уже сейчас совершенно корректно можно утверждать, что биологических пространств не одно, а огромное, возможно, бесконечное множество. Однако главное — эмпирическое и теоретическое выявление вида и числа типов биопространств, характерных для них групп преобразований и соответственных совокупностей инвариантов, их геометрий, — вес это дело будущего. При этом можно смело ожидать нарушения в таких пространствах — по крайней мере, в неоднородных и неизотропных — типа статистик (элементарных частиц), а также ряда физических законов сохранения, связанных с признанием однородности и изотропности пространств, в которых они реализуются. Сказанное — не вымысел. Мы помним, что нечто аналогичное физики, занимающиеся изучением твердого тела, констатируют на абиогенных кристаллах. Пространства таких тел из-за симметрии, отвечающих соответствующим пространственным группам кристаллов, неоднородны. Это значит, что в них имеются выделенные системы отсчета, и нет обычного для однородных и изотропных пространств принципа относительности, нет закона дисперсии, а также самих истинных частиц. Вместо этого приходится говорить о сложном законе дисперсии, квазиимпульсах, квазичастицах, нарушении закона сохранения импульса, особенностях статистики квазичастиц и т. д.

Безусловно, справедливое для абиогенных кристаллических пространств с еще большей категоричностью будет справедливо для гораздо более сложных, неоднородных и неизотропных, апериодических и (или) периодических биологических пространств — дисконтинуумов и семиконтинуумов. Более того, даже концепция квазичастиц здесь окажется применимой лишь отчасти, поскольку она разработана лишь для периодических, хорошо упорядоченных абиогенных кристаллических пространств. Для изучения же особенностей биологических пространств, не обязательно кристаллических, явно потребуется разработка нового языка, лишь отчасти квантово-механического.

А теперь о динамической биосимметрии. Такая симметрия в живой природе, безусловно, должна иметь место, коль скоро мы констатируем наличие бесконечного множества различных биологических процессов и взаимодействий, и коль скоро они протекают в соответствии с определенными законами сохранения и константами. Изучение и открытие отвечающих этим процессам динамических симметрий и связанных с ними законов сохранения, констант, построение на этой основе биологической науки, начиная от дисциплин, изучающих субмолекулярный уровень, и кончая дисциплинами, изучающими биосферу в целом, — одна из фундаментальных задач биологии вообще и биосимметрики в особенности.

Даже при первом подходе понятно, что динамические биосимметрики следует искать, прежде всего, там, где сохранение, так сказать, лежит "на поверхности" — в явлениях наследственности. При этом отрадно отметить, что некоторые теоретико-групповые подходы в этом направлении с учетом данных молекулярной биологии осуществлены. Так, в 1960 г. Р. Розен выступил с квантово-механической интерпретацией генетических явлений. По Розену, первичная генетическая информация кодируется состоянием некоторой квантовой, не обязательно наблюдаемой, переменной. Структура собственных состояний последней определялась групповым преобразованием, относительно которого система оставалась инвариантной. Инвариантность кодовых свойств молекулы ДНК относительно перестановок идентичных оснований определяла множественность аллелей и псевдоаллелей. Такая интерпретация в целом была поддержана Н. Рашевским и далее развита в терминах полугруппы с четырьмя базисными элементами (нуклеотидами) К. Уве. Затем необходимо упомянуть в этой связи и работу Ш. Моракацу, доказавшего возможность представления генетических рекомбинаций в терминах абелевых групп (см. также работу Шиката Сиюти).

В последних своих работах Н. Рашевский и Р. Розен пытаются представить сложные зависимости между структурой, свойствами и функциями биологических объектов в терминах математики отношений, которая, естественно, прямо связана с определенными преобразованиями и инвариантами. Здесь важную роль играют понятия множества, изо- и гомоморфизма, т. е. взаимноодно- и одномногозначных соответствий между элементами различных множеств (биообъектов). Благодаря такому подходу авторам удалось теоретически предсказать существование ряда известных и неизвестных биоявлений.

Поддерживая такого рода исследования живой природы, необходимо все же заметить, что во всех указанных работах сущность жизни отражается пока поверхностно и односторонне. В силу этого не прекращаются поиски все новых и новых биологических принципов и математических подходов. Например, совершенно новый круг проблем поднимает в работе "Воспринимаемое пространство и время" Г. Шеллинг. Принципиально иной подход к проблеме генетического кода недавно реализовал А. Г. Волохонский. Он установил любопытнейшее однозначное соответствие между общей структурой генетического кода, рядом биномиального разложения 26 и одним из платоновых тел — икосаэдром. Автор полагает, что икосаэдральная форма и пентамерная симметрия являются фундаментальными в организации живого вещества (хотя такие форма и симметрия хорошо известны для ряда неорганических нульмерных тел, например, для некоторых абиогенных точечных неорганических и органических молекул). С этой точки зрения генетический код представляется автором не как случайный продукт эволюционных блужданий (Ф. Крик, К. Уоуз), а как закономерное и необходимое следствие исходных принципов — икосаэдральности и пентамерной симметрии, выбранных живой природой для его осуществления. Однако, согласно закону соответствия общей теории систем, генетический код должен так или иначе соответствовать не только ряду биномиального разложения 2 и икосаэдру, но и другим системам — материальным и идеальным. Приведенные соображения делают выводы автора неоднозначными и спорными. Однако они ни в какой степени не снижают большой ценности установленных им красивых соответствий.

Всем сказанным мы хотели бы привлечь внимание биологов, физиков, философов, математиков к проблеме динамической биосимметрии и биологических законов сохранения. Ввиду исключительного значения последних для познания природы жизни, необходимы энергичные поисковые работы в этом направлении. Можно надеяться, что на основе биологических законов сохранения, разнообразных инвариантов, симметрии законов живой природы относительно тех или иных преобразований рано или поздно удастся глубже проникнуть в сущность живого, объяснить ход эволюции, ее вершины, тупики, предсказать неизвестные сейчас ветви, теоретически возможные и действительные числа типов, классов, семейств... организмов. И вообще нужно проанализировать вопрос о том, нельзя ли эволюцию материи в целом и внутри отдельных ее форм представить как групповые преобразования, найти их инварианты и на основе последних определить все возможные варианты эволюции в целом и в частностях, предсказать возможные ее ветви — число, характер и т. д. Таким образом, развитый здесь подход дает возможность поставить вопрос о неединственности той картины.

Заключение

Одним из методов теоретического исследования свойств микро-, макро- и мегамира стало выявление различных симметрий в природе, а иногда и постулирование их. Возросла, в связи с этим, роль весьма сложного и абстрактного математического аппарата — теории групп — наиболее адекватного и точного языка для описания симметрии. Теория групп — одно из основных направлений современной математики. Значительный вклад в ее развитие внес французский математик Эварист Галуа.

Русский минеролог и кристаллограф Е. С.Федоров с помощью теории групп решил задачу классификации правильных пространственных систем точек — одну из основных задач кристаллографии. Это исторически первый случай применения теории групп непосредственно в естествознании.

Существенное ограничение об однородном и изотропном пространственном распределении материи во Вселенной, налагаемое на уравнения общей теории материи и составляющее основу космологического принципа, позволило А. А. Фридману предсказать расширение Вселенной

Современный американский физик-теоретик Э. Вигнер, лауреат Нобелевской премии 1963 г., показавший эффективность применения теории групп в квантовой механике, анализируя роль принципов инвариантности, выделил ряд ступеней в познании, поднимаясь на которые мы глубже и дальше обозреваем природу, лучше ее понимаем. Вначале в хаосе повседневных фактов человек замечает некоторые эмпирические закономерности. Затем, выделяя общие свойства природных явлений и анализируя их связи, он формулирует математические законы природы, учитывая при этом начальные условия, которые могут иметь любой, даже случайный характер. Наконец, синтезируя уже известные законы, находят ряд принципов, позволяющих дедуктивным путем определить уже известные и пока неизвестные утверждения, предсказывающие те или иные физические процессы и явления

По утверждению Э. Вигнера, функция, которую несут принципы симметрии, состоит в наделении структурой законов природы или установлении между ними внутренней связи, так как законы природы устанавливают структуру или взаимосвязь в мире явлений. Так создаются теории, охватывающие широкий круг физических явлений и процессов.

Библиографический список

Карпенков С. Х. Концепции современного естествознания. М.: ЮНИТИ, 1997.
Компанеец А. С. Симметрия в микро- и макромире. М.: Наука, 1978.
Сонин А. С. Постижение совершенства (симметрия, асимметрия, диссимметрия, антисимметрия). М.: Знание, 1987.
Урманцев Ю. А. Симметрия природы и природа симметрии. М.: Мысль, 1974.
Физическая энциклопедия. Т.4. М.: Большая российская энциклопедия, 1994.
Химическая энциклопедия. М: Большая российская энциклопедия, 1996.

[/sms]