Реферат: Вопросы обучения математике в начальной школе

Понятия и элементы геометрии

1. Назовите пять существенных (общих) и пять несущественных (вариативных) свойств понятия шар

К существенным (общим) свойствам шара можно отнести:


Круглый;

Гладкий;

Ровный;

Правильной формы;

Полный внутри.
К несущественным (вариативным) свойствам шара можно отнести:
[sms]

Резиновый (пластмассовый, стеклянный, бумажный);

Большой (маленький, средний);

Зеленый (красный, желтый, розовый);

Легкий (тяжелый);

Красивый (некрасивый).
2. Изобразите при помощи кругов Эйлера отношения между понятиями a, b, c (между объемами понятий, между содержанием понятий, между совокупностями несущественных, вариативных свойств понятий). Для каких целей и как можно использовать это задание в начальной школе? В каком виде?

а – угол;

b – острый угол;

с – ломаная.


 

 

Это задание можно использовать в начальной школе для формирования логического мышления, которое дает возможность для успешного обучения в дальнейшем, для самообразования, для успешной общественно полезной практической деятельности и повседневной жизни.

Конечным итогом обучения должно быть подведение учащихся к наиболее общим философским выводам о видах и формах существования материи. При этом важно, чтобы эти выводы и обобщения были сделаны самими учащимися в процессе размышления над логикой тех или иных посылок и следствий.

3. Назовите два понятия, находящиеся в отношении ближайшего рода и видового отличия. Докажите, что названные понятия действительно находится в отношении ближайшего рода и видового отличия. Приведите пример соответствующих понятий из курса начальной школы. Опишите возможное содержание работы с ними для показа учащимся данного отношения

Построение абстрактных моделей реальных объектов в процессе познания их человеком является в то же время методическим приемом, вводящим учащихся в круг идей, которые составляют предмет математики, в частности, поясняет смысл таких важных геометрических понятий, как линия, поверхность, тело.

Абстракция — это, по существу, специфическая форма анализа, форма, которую анализ приобретает при переходе к абстрактному мышлению в понятиях.

4. Относительно понятия “числовое равенство” опишите происхождение и смысл; язык; свойства совокупности всех объектов, обозначенных понятием. Сформулируйте по одному заданию для ознакомления учащихся с происхождением и смыслом данного понятия; языком описания данного понятия; свойством совокупности всех объектов, обозначенным данным понятием

Числовым равенством является выражение, части которого равны.

Для ознакомления учащихся с происхождением и смыслом понятия “числовое равенство” можно предложить следующее задание:

1. Реши задачу:

У Коли было 4 сливы. Он дал 2 сливы Антону. Сколько слив стало у Коли?

Какое действие подойдет к рассказу? Почему? Запиши действие и его результат. (4-2=2).

Для описания данного понятия подойдет следующее задание:

2. Назови и прочитай выражение: (12-2)+5.

Для ознакомления учащихся со свойством совокупности всех объектов, обозначенных понятием “числовое равенство” можно включить в процесс обучения следующее задание:

3. Реши примеры

10+5=

8+2=

13-3=

7-5=

5. Опишите форму цветочного горшка с помощью линий; плоских геометрических фигур; объемных геометрических тел; линий, плоских геометрических и объемных геометрических фигур

Форму цветочного горшка можно описать с помощью прямых отрезков; прямоугольника; усеченного конуса.

6. Подберите или составьте задания, направленные на формирование у младших школьников понятия пирамиды. Опишите возможную организацию их включения в урок

Для формирования у младших школьников понятия пирамиды в процесс обучения следует включить следующее задание:

Предложить детям всевозможные геометрические фигуры, среди которых есть пирамида, в данном случае будет развиваться зрительная память.

Также следует перечислить все свойства пирамиды.

7. С какой целью можно включить следующее задание в урок?

Среди предметов классной обстановки укажите те, форму которого можно описать с помощью конуса.

Опишите организацию работы по достижению данной цели

Предложенное задание можно включить в урок для выявления умения учеников находить конус.

Ученикам предлагается определить и назвать те предметы, которые напоминают конус. В процессе этого дети сравнивают увиденные предметы с формой конуса, что помогает более четко запомнить форму конуса.

Среди предметов классной обстановки можно выделить следующие предметы, которые можно описать с помощью конуса: цветочный горшок, колпачок от авторучки и др.

Задачи. Методы и способы решения

8. Представьте содержание задачи в виде рисунка, чертежа так, чтобы смысл описанного в ней был понят учащимися первого класса с высоким уровнем математической подготовки.

Как построить работу с данной задачей для достижения педагогической цели: “Учить детей обозначать отношения “больше (меньше) в (на)” с помощью числовых равенств”?

Опишите соответствующий фрагмент урока

“В классе 14 мальчиков, их на 5 меньше, чем девочек. Сколько девочек в классе?”

Представим мальчиков в виде “  ”, а девочек в виде “O ”. Нарисуем 14 O на пять штук больше. Получим:

                           

O O O O O O O O O O O O O O O O O O O

Ответ: в классе 19 девочек.

Учащимся необходимо объяснить, что если в задаче стоит вопрос во сколько раз (больше, меньше) — следует в решении употреблять умножение либо деление; если в задаче поставлен вопрос на сколько (больше, меньше) — следует использовать сложение, вычитание.

9. Сформулируйте цели включения данной задачи в урок.

Опишите методику работы с задачей по достижении одной из целей

“С каждого гектара колхозного поля собрали 21 ц пшеницы. Площадь поля 5 га. Сколько всего пшеницы собрано?”

Цель включения данной задачи в урок заключается в том, чтобы сформировать у учащихся основные понятия (на уровне представлений), развивать общие функции мышления, направленные на формирование у учащихся умений использовать известные методы научного познания как методы изучения.

Методика работы над предложенной задачей направлена на всестороннее развитие у учащихся соответствующих мыслительных умений. Учащийся должен четко определять, в каком случае следует применить сложение, а в каком — умножение.

10. Примените в данной задаче один из приемов, помогающих понять задачу. Сделайте соответствующие записи.

Опишите методику работы задачи при обучении учащихся умению использовать данный прием при решении задачи

“В одну столовую привезли 15 одинаковых ящиков фруктов, а во вторую — 10 таких ящиков. В первую столовую всего привезли на 60 кг. фруктов больше, чем во вторую. Сколько килограммов фруктов привезли во вторую столовую?”

Для понимания данной задачи необходимо применить следующий прием — сделать рисунок:

1 столовая Ö Ö Ö Ö Ö Ö Ö Ö Ö Ö Ö Ö Ö Ö Ö — на 60 кг больше

2 столовая Ö Ö Ö Ö Ö Ö Ö Ö Ö Ö

В первую столовую привезли на 5 ящиков фруктов больше, то есть 5 ящиков = 60 кг. Для того чтобы узнать, сколько килограммов фруктов находится в одном ящике необходимо 60:5=12 кг. Если в одном ящике находится 12 кг, то в 10 таких ящиках будет 120 кг. Следовательно, во 2 столовую завезли 120 кг фруктов.

11. Сделайте рисунки и (или) чертежи к задаче и с их помощью обоснуйте выбор арифметических действий для ответа на вопрос задачи.

Опишите методику работы с задачей при обучении обосновывать выбор арифметических действий с помощью рисунка и (или) чертежа

“В сквере посадили 7 рядов деревьев по 8 в каждом ряду. Сколько всего деревьев посадили в сквере?”

Рисунок к задаче должен выглядеть следующим образом:

Ö Ö Ö Ö Ö Ö Ö               Ö

Ö Ö Ö Ö Ö Ö Ö Ö               Ö Ö Ö Ö Ö Ö Ö Ö

Ö Ö Ö Ö Ö Ö Ö Ö              

Ö Ö Ö Ö Ö Ö Ö Ö              

Ö Ö Ö Ö Ö Ö Ö Ö              

Ö Ö Ö Ö Ö Ö Ö Ö              

             

Для ответа на вопрос задачи необходимо применить в решении умножение.

Для получения необходимо горизонтальный ряд умножить на вертикальный.

12. Осуществи поиск плана решения задачи с помощью:

графической схемы;

без графической схемы;

от вопроса к данным;

от данных к вопросу.

Опишите методику работы с задачей для одной из целей

“Из 50 кг молока получается 4 кг сыра. Сколько килограммов сыра получится из 1 тонны молока?”

Данную задачу лучше решать при помощи метода “от данных к вопросу”. Таким образом, лучше задать вопрос, сколько килограмм в 1 тонне? В тонне 1000 килограмм. Сколько кг молока требуется для одного кг сыра? 50:4=12,5 (кг). А теперь определим, сколько килограммов сыра получится из 1 тонны молока 1000:12,5=80 (кг).

Ответ: из 1 тонны молока получится 80 кг сыра.

13. Покажите возможные формы записи решения следующей задачи.

С какой целью может записываться решение задачи?

“Для швейной мастерской купили полотна по 2 рубля за 1 метр. В первый раз его купили на 112 рублей, во второй раз этого полотна купили на 36 метров больше, чем в первый раз.

Сколько стоило полотно, купленное в оба раза?”

112:2=56(м)

56+36=92 (м)

92*2=184 (руб.)

184+112=296

Данное задание может быть предложено учащимся для ознакомления с назначением записи решения задачи и для обучения учащихся умению записывать решение на контрольной работе.

14. Реши задачу и проведи проверку одним из приемов. Опишите методику работы с задачей для обучения учащихся умению проверять решения задачи (данным приемам)

“В трехлитровый бидон вошло 2 кг 385 грамм керосина. Найти массу 8 л керосина”.

Данную задачу можно решить следующим способом:

Сначала мы определим массу одного литра керосина:

3 : 2 кг 385 г=795 г.

Затем мы определим массу 8 л керосина:

795 г* 8 =6 кг 360 г.

Ответ: масса 8 л керосина равна 6 кг 360 г.

В курсе математики начальных классов представляется полезной пропедевтика изучения понятия величины посредством выполнения действий и преобразований над конкретными величинами. Характер соответствующих упражнений должен определяться основными свойствами величины (сравнимостью, слагаемостью, возможностью деления на доли и измерения). Именно в упражнениях вычислительного характера и при решении текстовых задач свойства величины целесообразно рассматривать на конкретных примерах.

15. Проверьте правильность представленных ниже решений данной задачи способом, наиболее, на Ваш взгляд, подходящим для ученика, имеющего высокий уровень математических способностей. Обоснуйте свой выбор. Опишите соответствующий фрагмент урока

“От моего дома до школы 50 м. Я пошел в школу, но когда прошел 20 м, то вспомнил, что забыл книгу. Я вернулся, взял книгу и пошел в школу. Какое расстояние я прошел?”

1 способ:

1. 20+20=40(м)

2. 40+50=90 (м)

Ответ: я прошел 90 м.

2 способ:

1. 50+20=70(м)

2. 70+50=120 (м)

Ответ: я прошел 120 м.

Первый способ решения задачи является правильным. Так как ученик прошел бесполезный путь 20м + 20 м = 40 м., а затем заново пошел в школу, т. е. прошел 50 . Значит 50 м + 40 м = 90. Ученик прошел 90 метров.

16. Проверьте правильность представленного ниже решения данной задачи способом, наиболее подходящим (на Ваш взгляд) для ученика, имеющего низкий уровень математических способностей. Обоснуйте свой выбор. Опишите соответствующий фрагмент урока

“В мяч играли 8 ребят, 6 ушли домой. Сколько детей осталось играть в мяч?”

1 способ:

8-6=2 (реб.)

Ответ: 2 детей осталось играть в мяч.

2 способ:

8-6=3 (реб.)

Ответ: 3 детей осталось играть в мяч.

Задача решена первым способом верно. Ошибка ученика является вычислительной. Способ записи произведен правильно. В этом случае ребенку следует объяснить простейшие примеры вычитания. Чтобы предотвратить повтора данной ошибки, учителю следует давать ученику элементарные дополнительные примеры на сложение и вычитание.

17. Проверьте правильность представленного ниже решения данной задачи способом, наиболее подходящим (на Ваш взгляд) для ученика, у которого развито наглядно-образное мышление.

Обоснуйте свой выбор. Опишите соответствующий фрагмент урока

“На пластинке записаны с одной стороны 4 песни, а с другой 3. На сколько песен больше на одной стороне, чем на другой?”

1 способ:

4-3=1(п.)

Ответ: на одной стороне на одну песню больше, чем на другой.

2 способ:

4-3=2 (п.)

Ответ: на одной стороне на две песни больше, чем на другой.

Данную задачу можно представить в виде рисунка:

предположим, что   — это одна песня, тогда получим

первая сторона        

вторая сторона       .

Для ученика, у которого развито наглядно-образное мышление, этот способ записи решения задачи является самым наглядным.

18. Проверьте правильность представленного ниже решения данной задачи способом, наиболее подходящим (на Ваш взгляд) для ученика, с аналитическим мышлением.

Обоснуйте свой выбор. Опишите соответствующий фрагмент урока

“От моего дома до школы 50 м. Я пошел в школу, но когда прошел 20 м, то вспомнил, что забыл книгу. Я вернулся, взял книгу и пошел в школу. Какое расстояние я прошел?”

1 способ

1. 50+20=70(м)

2. 70+20=90 (м)

Ответ: я прошел 90 м.

2 способ

1. 50-20=30(м)

2. 30+50=80 (м)

Ответ: я прошел 80 м.

Первый способ решения задачи является правильным. Так как ученик прошел бесполезный путь 20м + 20 м = 40 м., а затем заново пошел в школу, т. е. прошел 50 м. Значит 50 м + 40 м = 90. Ученик прошел 90 метров.

19. Проверьте правильность представленного ниже решения данной задачи способом, наиболее подходящим (на Ваш взгляд) для ученика, с наглядно-действенным мышлением.

Обоснуйте свой выбор. Опишите соответствующий фрагмент урока

“Из гаража выехало 10 грузовых машин и 5 легковых машин. Сколько всего машин выехало из гаража?”

1 способ:

10+5=15 (Маш)

Ответ: 15 машин выехало из гаража.

2 способ:

10-5=5 (Маш)

Ответ: 5 машин выехало из гаража.

Первый способ решения задачи является правильным. Для ученика с высоко развитым наглядно-действенным мышлением можно представить машины в виде рисунков.

20. Проверьте правильность представленного ниже решения данной задачи способом, наиболее подходящим (на Ваш взгляд) для ученика, со средним уровнем математических способностей.

Обоснуйте свой выбор. Опишите соответствующий фрагмент урока

“Настя раскрасила 10 картинок, а Галя 5 картинок. Во сколько раз больше картинок раскрасила Настя, чем Галя?”

1 способ:

10:5=2 (раза)

Ответ: Настя раскрасила в 2 раза больше картинок, чем Галя.

2 способ:

10-5=5 (раз)

Ответ: Настя раскрасила в 5 раз больше картинок, чем Галя.

В данном случае ученику необходимо объяснить, что если в задаче стоит вопрос “во сколько раз?”, то необходимо выполнять действие деление (умножение), если стоит вопрос “на сколько?”, необходимо выполнять сложение (вычитание).

21. Проверьте приведенные ниже решения данных задач приемом “прогнозирования” (“прикидка результата”).

Сформулируйте несколько заданий для учащихся, выполнение которых способствовало бы формированию у них умения проверять решение задачи названным в задании приемом

“На кусте расцвели розы. Когда срезали 6 роз, то осталось 13. Сколько роз расцвело на кусте?”

13-6=7

Ответ: на кусте цвело 7 роз.

Ответ и решение данной задачи неверны. Если ученик в ответе получил 7, то можно прочитать ситуацию иначе:

На кусте расцвело 7 роз. Когда срезали 6 роз, то осталось 13, что практически не возможно. Должна была остаться 1 роза. Правильное решение выглядит следующим образом:

х-6=13

х=13+6

х=19

Ответ: на кусте цвело 19 роз.

Проверим:

19-6=13 (роз).

22. Сформулируйте несколько заданий для учащихся, выполнение которых способствовало бы формированию у них умения проверять решение задачи названным в задании приемом

“У Романа было 7 шариков, а стало на 2 шарика больше. Сколько шариков стало у Романа?”

7+2=9 (ш)

Ответ: у Романа стало 9 шариков.

1. “У Марины было 3 шара. 2 она отдала Ивану. Сколько шаров осталось у Марины?”

2. “У Пети было 4 сливы. Саша дал ему еще 4 сливы. Сколько слив стало у Пети?”

Такие задания формируют у учащихся умение проверять решение задачи.

23. Проверьте приведенное ниже решение данных задач приемом “решение задачи другим методом или способом”.

Сформулируйте несколько заданий для учащихся, выполнение которых способствовало бы формированию у них умения проверять решение задачи названным в задании приемом

“На школьном дворе убирали снег 8 школьников, к ним на помощь подошли еще 4 мальчика, а потом еще 3 девочки. Сколько всего ребят стали убирать снег на школьном дворе?”

8+4=12 (шк)

12+3=15(шк)

Ответ: 15 школьников стали убирать снег на школьном дворе.

Другим способом эту задачу можно решить так:

8+(4+3)=15 (шк)

Ответ: 15 школьников стали убирать снег на школьном дворе.

Можно предложить следующие задачи для формирования умения у учеников проверки решения задачи другим методом (способом).

“В магазин в понедельник привезли 15 кг яблок, во вторник 20 кг яблок, а в среду два раза по 10 кг. Сколько яблок привезли за три дня вместе?”

24. Проверьте приведенное ниже решение данных задач приемом “соотнесение полученного результата и условия задачи”. Опишите соответствующий фрагмент урока

“У Юры несколько значков. Когда он подарил товарищу 3 значка, то у него осталось 8 значков. Сколько значков было у Юры?”

8-3=5 (зн)

Ответ: у Юры было 5 значков.

Задача решена неправильно. Так как можно проверить 5-3=1, а по условию задачи у Юры осталось 8 значков.

Учащемуся необходимо объяснить, что необходимо проверять (подставлять) полученный результат в задачу.

В данном случае задачу следовало решить так:

х-3=8

х=3+8

х=11

Проверим:

11-3=8 (зн).

25. Проверьте приведенное ниже решение данной задачи с помощью определения смысла составленных по задаче выражений и последующей проверки правильности вычислений.

Опишите соответствующий фрагмент урока

“У Иры было 6 маленьких матрешек. 4 она подарила. Сколько матрешек стало у Иры?”

6+4=10 (м)

Ответ: 10 матрешек стало у Иры.

Правильное решение задачи должно выглядеть так:

6-4=2(м)

Ответ: 2 матрешки стало у Иры.

Эту задачу можно объяснить ученикам следующим образом: если Ира подарила 4 матрешки, то у нее не может остаться больше матрешек, чем было, т. е. не может оказаться больше 6. В данном случае ученик, отвечая на вопрос, поставленный в задаче, говорит, что у Иры осталось 10 матрешек, что невозможно, т. к. 6<10.

26. С какой целью данное задание можно включить в процесс обучения? Сформулируйте несколько заданий для учащихся, выполнение которых способствовало бы реализации одной из названных вами целей

“Составь задачу по выражению и реши ее:

16*7+40”.

Данное задание можно включить в процесс обучения с целью формирования у детей навыков составления задач исходя из данных значений.

В данном случае задача может выглядеть следующим образом:

“У Марины 16 марок, у Вани 40 марок, а у Марка в 7 раз больше, чем у Марины. Сколько марок у двух мальчиков вместе?”

27. Рассмотрите представленные ниже задачи и выражения, составленные по ним. Дают ли эти выражения ответы на вопросы задачи?

Сравните последовательность чисел в каждом выражении с последовательностью этих же чисел в тексте задачи. Верно ли будет обобщение, которое сделал ученик 2 класса:

“Если выражение составлено из чисел (взятых из текста задачи) в той же последовательности, что и в тексте задачи, то это выражение дает ответ на вопрос задачи”?

Можно ли изменить тексты задач так, чтобы последовательность представленных чисел в тексте задачи изменилась, а выражение, дающее ответ на вопрос задачи, не изменилось?

Как избежать подобных обобщений при обучении решению задач? Приведите несколько заданий для этой цели

“У сестры было 11 коп., а у брата 7 коп. Сколько тетрадей ценой по 3 коп. они могут купить на все деньги?”

(11+7):3

Выражение (11+7):3 дает ответ на вопрос, поставленный в задаче. Не обязательно последовательность числа в выражении будет совпадать с последовательностью их в выражении. Обобщение сделанное учеником 2 класса не верно. Но в данном случае последовательность чисел совпадает с последовательностью чисел в задаче (что является совпадением).

Тексты задач можно изменить так, чтобы последовательность представленных чисел в тексте изменилась, а выражение, дающее ответ на вопрос задачи, не изменилось, например:

“Тетради стоят 3 копейки каждая. У сестры было 11 коп., а у брата 7 коп. Сколько тетрадей они могут купить на все деньги”.

В этом случае ученику следует объяснить, что в предложенной задаче необходимо строить выражение, так, чтобы было удобно его решить, независимо от того, в какой последовательности эти цифры идут в задаче.

Математические и логические основы курса математики начальной школы

28. С какой целью можно включить это задание в урок? Опишите методику работы с заданием по достижению одной из названных вами целей.

Покажите, что, выполняя следующие задания, мы находим множество истинности конъюнкции и дизъюнкции высказывательных форм:

“Из ряда 72, 312, 522, 1137 выпишите те числа, которые:


делятся на 3 и 9;

делятся на 3 или на 9”.
Данное задание можно включить в урок с целью развития мышления, формирование которого способствует не только успешному обучению математике, но и успешному обучению другим предметам естественно-математического цикла.

К числу качеств научного мышления относятся гибкость (нешаблонность), оригинальность, глубина, целенаправленность, рациональность, широта (обобщенность), активность, критичность, доказательность мышления, организованность памяти, четкость и лаконичность речи и записи.

29. С какой целью можно включить это задание в урок?

Опишите методику работы с заданием по достижению одно из целей. В начальном курсе математики синонимом слова “нужно” (“надо”) и синонимом слова “достаточно” является слово “можно”. Зная это, вставьте место многоточия слова: “нужно” либо “можно”, так чтобы высказывания были истинными; ответы обоснуйте:

“Для того чтобы сумма натуральных чисел делились на число 5, …, чтобы каждое слагаемое делилось на 5”.

В данном случае особенно проявляется такое качество мышления как гибкость, т. е. умение целесообразно варьировать способы решения познавательной проблемы, легкость перехода от одного пути решения к другому, а главное — умение выходить за рамки привычного способа действия, находить новые способы решения проблем при изменении задаваемых условий; умение перестраивать систему знаний по мере овладения новыми знаниями и накопления опыта.

Таким образом, гибкость мышления обнаруживается в быстроте ориентировки в новых условиях, в умении видеть новое в известном, выделять существенное, выступающее в скрытой форме.

Предложенное высказывание будет верным, если вместо многоточия вставить “нужно”.

Почему не “можно”? Если слагаемое не будет делиться на 5, то и сумма натуральных чисел не будет делиться на 5.

30. С какой целью можно включить это задание в урок? Опишите методику работы с заданием по достижению одной из названных целей

“Даны равенства: 74-47=27; 52-25=27; 63-36=27. Верно ли, что разность двузначного числа и числа, записанного теми же цифрами, но в обратном порядке, равна 27?”

Это задание можно включить в урок с целью формирования гибкости мышления. Знания и опыт часто воспроизводятся сознанием по определенным, привычным для данного учащегося “проторенным путям”. Возникает предрасположенность к какому-либо конкретному методу или образу мышления, желание следовать известной системе правил в процессе решения задач, — шаблонность мышления. Чтобы этого избежать, подобные задания включаются в процесс обучения.

При выполнении данного задания учащимся необходимо объяснить, что не каждая разница повторяющихся цифр равна 23. Привести примеры:

32-23=9

65-56=9

97-79=18

42-24=18 и т. д.

31. С какой целью можно включить это задание в урок? Опишите методику работы с заданием по достижении одной из целей. Покажите, что, обосновывая решение следующих задач, младшие школьники могут использовать полную индукцию:

“Можно ли утверждать, что значения выражений в столбике одинаковы:

56:5

7*5:(32:4)

(65-9):(24:3)?”

Данное задание включается в урок с целью формирования доказательности мышления учащихся, которая характеризуется умением терпеливо и скрупулезно относиться к собиранию фактов, достаточных для вынесения суждения, умением отличать результаты достоверные от правдоподобных, вскрывать подлинную подчиненность связи посылки и заключения.

Для выполнения предложенного задания школьники должны решить каждый пример самостоятельно. После этого сделать вывод.

32. Какое соответствие рассматривается в задаче?

Приведите примеры заданий из учебников математики начальной школы, в которых рассматриваются соответствия.

Опишите соответствующий фрагмент урока

“Возьми 8 кругов и 5 треугольников. На сколько треугольников меньше, чем кругов? На сколько кругов больше, чем треугольников?”

В данной задаче школьникам предлагается сравнить количество кругов и треугольников. Для наглядности лучше выполнить рисунок:

О О О О О О О О


Ответ: на 3 круга больше.

В качестве примера можно привести следующее задание:


Измерь ленточки линейкой. Какая из них больше? Какая меньше? На сколько?

33. Покажите, что, решая следующие задачи, учащиеся находят множество элементов и устанавливают соответствия между ними.

Опишите соответствующий фрагмент урока

“Оля знает 5 сказок, а Таня на 2 больше. Сколько сказок знает Таня?”

Учащимся необходимо осознать, что встречаются задачи, в которых необходимо обобщить несколько слов, понятий одним. Трудность заключается в том — почувствовал ли учащийся необходимость обобщения? Оно здесь сводится к тому, чтобы “придумать такое слово”, которое годилось бы во всех аналогичных ситуациях.

Сознательное понимание здесь связано с запасом материала для обобщения, имеющегося в сознании учащегося.

34. Покажите что решение данного задания связано с понятиями: множество, равномощные множества, соответствия, взаимооднозначные соответствия.

Опишите соответствующий фрагмент урока

“Сравни и поставь знаки “>”, “<”, “=”.

5… 8

7… 2

7… 6

2… 5”

Понятия и символы теории множеств находят полезные применения при изучении систем уравнений:

график уравнения с двумя переменными есть множество точек, координаты которого удовлетворяют уравнению;

решить систему уравнений — значит найти множество ее решений;

множество решений системы есть пересечение множеств решений всех ее уравнений.

Числа и их изучение в начальной школе

35. Как ознакомить детей с языком темы? Как обеспечить владение учащимся языком темы на достаточном для каждого образовательного учреждения и для каждого ученика уровне?

Назовите и покажите элементы языка (т. е. слова, символы, знаки, в том числе геометрические, правила построения и записи слов и предложений и т.д.) темы “Величины”

В курсе математики начальных классов представляется полезной пропедевтика изучения понятия величины посредством выполнения действий и преобразований над конкретными величинами. Характер соответствующих упражнений должен определяться основными свойствами величины (сравнимостью, слагаемостью, возможностью деления на доли и измерения). Именно в упражнениях вычислительного характера и при решении текстовых задач свойства величины целесообразно рассматривать на конкретных примерах:


сложение и вычитание двух величин (например, 5 дм 3 см + 8 дм 5 см = 13 дм 8 см = 1 м 3 дм 8 см и т. п.);

умножение величины на число (например, 5 дм 3 см х 3 = 15 дм 9 см = 1 м 5 дм 9 см и т. п.);

деление величины на число (нахождение доли величины и т. п.);

сравнение величин (например, 5 см 9 мм < 6 см 1 мм и т. п.).
36. Опишите методику работы с этим заданием.

Подберите из учебников математики для начальной школы или составьте самостоятельно задания, которые можно использовать с целью формирования навыков счета предметов

Для навыков счета предметов можно предложить учащимся рисунки с изображением предметов, в данном случае с изображением груш, на одном рисунке одна груша, а на другом — корзина, полная груш. Перед учениками поставить следующие вопросы:

Где груш больше — слева или справа? Где их меньше?

Сколько груш на тарелке?

Сколько груш в корзинке?

Другое задание: раскрась рисунки, на которых птиц меньше, чем зверей. Обведи рисунки, на которых зверей столько же, сколько птиц.

При этом детям раздаются карточки с изображением зверей.

Также у детей можно спросить: сколько на рисунках ворон, мышей, петухов, ласточек, собак и т. д.

37. На этапе устных упражнений учитель проводит с учащимися беседу:

Какое число называют при счете перед числом 4?

Какое число называют при счете после числа 3?

Назовите число, которое на 1 меньше чем 3.

Назови соседей числа 4.

Какое число больше чем 2 на 1?

Какая педагогическая цель реализуется при этом?

Опишите дальнейший ход работы в классе коррекции и в гимназическом

На этапе устных упражнений у учащихся формируются знания о ряде натуральных чисел. В классе коррекции предлагаются задания на примере вышеизложенных, а также:

Запиши числа от 1 до 9 в порядке увеличения.

Какое число ты поставил первым?

На сколько каждое следующее число больше предыдущего? и т. д.

В гимназическом классе можно задачу усложнить, предложив детям следующее задание:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 … — натуральный ряд чисел.

Многоточие в конце записи обозначает, что натуральный ряд продолжается дальше, но числа не записаны.

Ты можешь назвать некоторые из незаписанных чисел? Если да, назови их.

А записать названные числа ты можешь? Если можешь, запиши их.

38. С какой целью можно использовать сказку “Репка” на первых уроках математики? Какие сказочные сюжеты или стихи можно использовать с той же целью? Какие иллюстрации в учебниках способствуют той же цели?

Опишите соответствующий фрагмент урока

Сказку “Репка” можно использовать для первых уроков математики, предложив детям посчитать всех героев сказки, для формирования навыков счета.

Также можно предложить некоторые стихи, которые не требуют особых навыков и умений от детей, только что начавших изучать математику, например:

“Один жираф и два кота,

Три львицы — что за красота!

Четыре феи здесь на льду

Танцуют польку с какаду!

Пять мотыльков, шесть домовых,

Семь гномов насчитали вы…

Считайте час, день, месяц,… вечность —

Ведь ряд уходит в бесконечность!

Лишь Нулик очень огорчен:

Он в этот ряд не приглашен…”

О чем это стихотворение?

39. Учитель предложил учащимся задание: “В чем сходство и различие чисел 25 и 52?” С какой целью дано задание? Какие еще пары чисел полезно сравнить в этом случае:

25 и 35;

13 и 43;

42 и 24;

4 и 24?

Опишите соответствующий фрагмент урока

Задание предложено с целью обучения детей единицам, десяткам, сотням и т. д. Ребенок может перепутать, какое число больше, а какое меньше или для ребенка эти числа вообще могут быть одинаковыми. Для этого необходимо объяснить ребенку, что у числа есть десятки и есть единицы в предложенном примере в первом числе: 25 — 2 десятка и 5 единиц, а во втором числе: 52 — наоборот 5 десятков и 2 единицы.

Еще полезно сравнить пару чисел “в” (42 и 24).

40. В чем может быть причина таких ошибок учащихся: 47> 74, 85=58? Подберите соответствующие упражнения для предупреждения подобных ошибок.

Опишите соответствующий фрагмент урока

Причина ошибок учащихся заключается в том, что дети не понимают, какое число больше, а какое меньше. Учащимся следует объяснить, что 85 и 58 — это разные цифры, а не одинаковые как они написали. Для наглядности можно предложить ряд натуральных чисел и посмотреть, на каком месте стоит цифра 58, а на каком — цифра 85.

Можно предложить решать больше неравенств по данной проблеме, для закрепления материала:

42+1 и 24+1

21-1 и 12-1

41. Подберите из учебников математики для начальной школы или составьте самостоятельно задания на закрепление понятия разрядного состава числа.

Опишите возможные формы работы с ними

Для закрепления понятия разрядного числа учащимися лучше всего подходят следующие задания:

1. Назови в каждом из чисел числа первого и числа второго разряда:

17, 24, 38, 42, 55, 64, 72, 81, 90.

2. Запиши сумму разряда слагаемых чисел 12, 22, 48, 95.

42. С какой целью учитель может использовать следующие задания? В какой последовательности их лучше предложить учащимся? Почему?

Запишите числа 21, 24, 26 в виде суммы разряда слагаемых.

Запишите все двузначные числа, в которых 2 десятка. Увеличьте каждое из них на три десятка. Уменьшите каждое из них на 2 десятка.

Сколько в числах 23, 27, 29 единиц первого и единиц второго разряда?

Запишите числа, в которых 2 дес., 8 ед.; 2 дес., 5 ед.

Опишите соответствующий фрагмент урока

Такое задание можно предложить учащимся для формирования навыков понятия разрядного числа. Предложенные задания лучше предлагать в порядке возрастания сложности (легкое — сложнее — сложнее — трудное), т. е. 3, 4, 1, 2.

43. С какой целью учитель может использовать следующие упражнения:

Запишите последовательность чисел от 1 до 10. Прибавьте к каждому числу 1 десяток и запишите полученные числа во втором ряду.

Вставьте пропущенные числа 9, …, 11 …, …, 14, …, 16, …, …, 19, 20.

Сравните числа 13…15, 10…18, 18…17.

Запишите числа в порядке возрастания 17, 18, 11, 13, 12, 14, 15, 9, 16, 20, 10.

Запишите числа, которые состоят из 6 дес. 3ед., 1 дес. 7 ед., 7 дес. 7 ед.

Запишите в виде суммы разрядных слагаемых числа:

13 = 10 + 3, 85 = … … …, 58 = … … …, 40 = … … … .

Данные упражнения могут быть использованы для усвоения материала разрядного состава числа. Учащиеся должны четко представлять, что такое десятки, что такое единицы.

С предложенными заданиями лучше всего работать всем классов, чем спрашивать каждого ученика по отдельности. При этом ученики будут постепенно включаться в работу.

44. С какой целью учитель предложил учащимся следующие задания:

Сумма чисел первого вертикального ряда равна 830. Догадайтесь, как быстро найти суммы чисел в остальных вертикальных рядах.


200

201

202

205

206

207

210

211

212

215

216

217

Данное задание может быть предложено учащимся с целью развития логического мышления. Если вдуматься в задание, то мы увидим, что каждый последующий ряд увеличивается на 1 ед. Таким образом, в общей сложности второй столбик будет больше первого на 4 единицы, а третий столбик больше первого — соответственно на 8 единиц.

Таким образом, нужно 830+4=834 и 830+8=838 (или 834+4=838).

45. Покажите смысл записи 2+3 с разных теоретических позиций. Какие образовательные цели могут быть достигнуты, если различные смыслы записи 2+3 будут рассмотрены в начальной школе? Сформулируйте соответствующие задания для детей.

Опишите возможные формы работы с ними

С помощью записей 2+3 или других похожих, детям можно объяснить, теоретико-множественные понятия (соответствие между элементами двух множеств). Учащихся тренируют в установлении соответствий и переходе от одного способа их задания к другому. Уместно обратить внимание учащихся и на тот факт, что заданием с выражением с переменной устанавливается соответствие между множеством допустимых значений переменной и множеством соответствующих значений самого выражения. Тем самым будет представлена связь изучаемого материала с задачами на отыскание множества значений выражения с переменной.

46. Покажите теоретико-множественные смыслы действия 2:4 и 15:4. Опишите возможный вариант организации деятельности учащихся на уроке для достижения педагогических целей:

Совершенствовать умение детей выполнять деление группы предметов (изображений) “на равные части” и “по содержанию”.

Обеспечить понимание учащихся теоретико-множественных смыслов деления.

Степень понимания изучаемого материала легко проверить, прейдя к изучению классификации (разбиение данного множества на взаимно непересекающееся подмножества, объединение которых совпадает с данным).

Ярким и весьма распространенным примером деления на группы служит классификация треугольников.

47. Покажите теоретико-множественный смысл записи 3х4. Нужно ли раскрывать этот смысл детям? Для чего? Как? Опишите один из возможных вариантов соответствующей организации деятельности учащихся.

Основной смысл этой записи состоит, очевидно, не в ее конечном результате, а вы поиске рационального метода его отыскания. Чаще всего учащиеся прибегают к составлению схематического рисунка и выписыванию элементов искомого множества.

Для наглядности в подобных случаях лучше предложить учащимся составить задачу. Она должна выглядеть примерно следующим образом:

“С разных сторон на холм поднимаются три тропинки и сходятся на его вершине. Составьте множество маршрутов, по которым можно подняться на холм и спуститься с него”.

Было бы хорошо, если бы учащиеся сами придумали обозначения для элементов искомого множества.

48. Выполните по-разному действие, применив различные вычислительные приемы (алгоритмы). Для каждого из алгоритмов назовите теоретические положения, которые лежат в его основе. Составьте или подберите из учебников несколько видов заданий, выполнение которых будет способствовать пониманию (обоснованию) правомерности применения этого алгоритма.

3+7

Это действие можно записать по-разному: поменять местами слагаемые 7+3; разбить на части второе слагаемое 3+3+3+1, 3+3+4.

32*5

Это действие можно записать, умножив сначала единицы, а затем десятки или наоборот 2*5+30*5; 30*5+2*5.

49. Можно ли обосновать выбор действия в следующей задаче с теоретико-множественных позиций (пользуясь положениями теории множеств). Ответ пояснить. Как эффективней организовать работу с этой задачей для достижения цели формирования смысл действия умножения

“Сколько колес у трех двухколесных велосипедов? А у пяти двухколесных велосипедов?”

Наиболее ответственным шагом при ознакомлении учащихся с теоретико-множественными понятиями является введение неопределяемых понятий множества, его элемента и принадлежности. Эту работу можно начать с рассмотрения конечных числовых множеств и переходить к примерам множеств различной природы, можно поступить наоборот. Так или иначе, но учащимся необходимо осознать, что могут встретиться ситуации, при которых “несколько” чисел, деревьев, машин, цветов (в нашем случае — колес) желательно назвать одним словом.

Эту задачу необходимо решить следующим образом:


3*2=6 (к)

5*2=10 (к)
50. С какой целью можно предложить данное задание детям? Опишите соответствующий фрагмент урока.

Подумай, какие из следующих записей можно назвать уравнениями, а какие нет? Ответ обоснуйте.

(х+20)-4

647+308

х=15*7

35а=228

х+15>7

800+60=8060

Такого рода задания могут предлагаться детям с целью определения такого числового значения х, которое обращает это условное числовое равенство в верное.

Таким образом, в предложенных записях можно выделить только одно уравнение: х=15*7.

51. С какой целью можно предложить данное задание детям?

Составьте и подберите несколько заданий для учащихся, выполнение которых способствовало бы достижению одной из целей.

Запиши следующий текст в виде уравнения. Реши его.

Неизвестное число уменьшили на 203 и получили 18007.

х-203=18007

х=203+18007

х=18210

Данное задание предлагается детям с целью определения такого числового значения х, которое обращает это условное числовое равенство в верное.

“У Коли было несколько слив. Он дал 2 сливы Антону. У Коли осталось 5 слив. Сколько слив было у Коли?”

“У Ани было 3 шара. Ей дали еще несколько шаров. У Ани стало 20 шаров. Сколько шаров дали Ане?”

52. Выполни данное ниже задание. Опиши фрагмент урока для достижения одной из целей.

Какие умения и навыки могут быть сформированы у учащихся при выполнении данного ниже задания?

“Назовите и прочитайте выражение (1307-459)х203”.

Скобка открывается тысяча триста семь минус четыреста пятьдесят девять, скобка закрывается, умножить на двести три.

Учащимся предоставляется данное задание, с целью формирования математической грамотности. Учащимся необходимо правильно проговорить все математические действия.

53. С какой целью данное задание можно предложить учащимся? Опишите соответствующий фрагмент урока.

Какими величинами можно охарактеризовать стол?

Данное задание можно предложить учащимся с целью формирования понятия величины, которое является одним из основных понятий математики.

Учащийся должен ответить, что можно определить количество столов (штуки), а можно определить длину, ширину, высоту, либо площадь стола (см2, м2).

54. Найдите в учебниках математики для начальной школы или составьте задания самостоятельно, с помощью которых учащиеся осваивают происхождение и смысл дроби как результата измерения величин. Опишите фрагмент урока

“Карлсон взял себе 5/7 торта. Раскрась эту часть. Посмотри на рисунок и запиши, какая часть торта досталась Малышу”.

Для наглядности на доске лучше изобразить рисунок в виде круга и разделить его на семь равных частей:


“Из 96 кусков мела, закупленных школой, 1/8 часть отдали в третьи классы. Сколько кусков мела отдали третьеклассникам?”

Здесь на доске можно сделать следующую запись в помощь учащимся:

96 Ö 8 = Ö

и попросить учеников вставить необходимые знаки и числа на места галочек.

55. С какой целью можно дать это задание в начальной школе?

Опишите соответствующий фрагмент урока

“На какие группы можно разбить величины 6 кг, 46,3 ц, 8 м, 8 см, 2 ч?”

Какие значения величин смогут дополнять каждую группу?

Учащимся полезно проводить простейшие измерения величин и упражняться в переходе от одной единицы измерения к другой.

Изучение измерения величин требует достаточно отчетливого представления о сущности процесса непосредственного измерения, с которым учащиеся знакомы на основе житейского опыта. Учителю необходимо подчеркнуть, что измерение величины тесно связано с понятием числа.

Процесс измерения величин состоит из двух этапов:


Из данного рода величин выбирается некоторая величина, которую называют единицей измерения.

Осуществляется процесс измерения — сравнение данной величины с выбранной единицей измерения.
56. Найдите в учебниках математики для начальной школы или составьте сами задания, которые можно использовать с целью формирования умения измерять объем. Опишите разные формы работы с заданиями по достижении данной цели

Для формирования умения измерять объем можно предложить разные формы заданий.


Нарисовать на доске три группы кружек по две в каждой группе (все разной высоты и ширины). Задать учащимся следующие вопросы: какая кружка больше по объему? Всегда ли это можно определить по виду кружек? Как можно сравнить две кружки по объемы?

Прочитать детям задачу: в кувшин с одной ручкой вошло 7 стаканов молока, а с двумя ручками — 8 таких же стаканов. У какого кувшина объем больше?

Нарисовать на доске объемные фигуры, состоящие из кубиков и предложить детям раскрасить фигуры, равные по объему, одинаковым цветом.
57. С какой целью можно дать эту задачу в начальной школе? Опишите соответствующий фрагмент урока. О каких величинах идет речь в задаче?

“На детское платье идет 1,5 м ткани, а на взрослое — в 2 раза больше. Сколько ткани пойдет на 3 маленьких и 4 больших платья вместе?”

Данную задачу можно представить учащимся с целью получения навыков при обозначении отношения “больше (меньше) в (на)” с помощью числовых равенств.

Учащемуся для решения задачи необходимо вначале определить, сколько метров ткани идет на взрослое платье, затем посчитать, сколько метров ткани идет на маленькие и большие платья отдельно, потом сложить результаты.

В задаче речь идет о таких величинах, как метры.

58. Как показать учащимся необходимость знания всех единицы: массы?

Учащимся необходимо объяснить, что масса — одна из самых важных величин. При помощи массы можно определить, какой предмет легче, какой тяжелее. В повседневной жизни мы очень часто сталкиваемся с таким понятием как масса.

Для наглядности можно предложить детям следующие простые задачи, а также продемонстрировать разные виды весов.

Задачи могут быть представлены на картинках, вопросы могут быть следующего характера: например, сколько яблок уравновесят ежика? Сколько орешков уравновесят белочку? Можно ли сказать, кто из них легче? Сравни по массе виноград и ананас.

59. Опишите фрагмент урока. Какого вида учебные задания можно предложить детям с целью научить сравнивать площади поверхности

С целью научить сравнивать учащихся площади поверхности можно предложить следующие задания:

Закрась одним цветом фигуры, равные по площади.


 

 


 

Как ты думаешь, какая фигура больше по площади? Сравни, пересчитав число треугольников.




60. Знания о каких свойствах площади неявно формируются у учащихся при выполнении этого упражнения?

С какой целью можно дать эту задачу в начальной школе?

Опишите соответствующий фрагмент урока

“Легко ли сравнить отрезки на данном чертеже?

Объясни в чем трудность?

Начерти два отрезка так, чтобы их длины легко было сравнить?”

Такую задачу можно дать учащимся для того, чтобы ребенок подумал, как лучше сравнить отрезки, когда они пересекаются, или когда они параллельны.

Такая задача лучше всего закрепляет материал о параллельности прямых.

61. На уроке математике учитель к тексту задачи, представленной на доске, записал несколько математических выражений. Все выражения содержали числа, имеющиеся в тексте задачи.

В цветочный магазин привезли 465 штук цветочной рассады. Утром продали 43 штуки, а днем 122 штуки. Сколько штук рассады осталось?


43*2

465*2

465:2-43

465-43*2

(465-43)*2

465-43*3

465-43-43*2
Ученик выбрал выражение (465-43)82, обосновав следующим образом:

“На вопрос задачи можно получить ответ с помощью выражения “д”, потому что в задаче первым называется число 465 и в выражении оно стоит первым, и в задаче вторым называется число 43 и в выражении оно записано вторым, число 3 — последнее в тексте и в выражении оно последнее”.

Правильно ли строил рассуждения ученик?

Из какой общей предпосылки он исходил?

Верна ли эта посылка?

Объясните причины возникновения ее у ученика.

Ученик строил рассуждения не верно, так как он исходил из последовательности цифр в выражении и задаче. В этом случае ученику следует объяснить, что в предложенной задаче необходимо строить выражение так, чтобы было удобно его решить, независимо от того, как эти цифры идут в задаче.

Данная проблема часто встречается у детей младшего школьного возраста — они выполняют решение задачи не в той последовательности, в которой необходимо. В данном случае учащимся нужно давать дополнительные задания. [/sms]