Логико-математические парадоксы
Среди логико-математических парадоксов наиболее широко обсуждены парадоксы Б. Рассела - «множество множеств», «класс всех классов», «понятие всех понятий» и т.п. К примеру, парадокс «множества множеств» выглядит следующим образом.
Дано два рода множеств: 1) множества, которые не содержат себя в качестве элементов (например, множество овец), не являются членом самого себя (множество овец не является овцой); 2) множества, которые содержат себя в качестве элементов (например, множество стад овец), являются членами самого себя (множество стад тоже является стадом). Возьмем множество множеств первого рода и установим, к какого рода множествам оно принадлежит: - к первому или второму.
Допустим, это множество принадлежит к первому роду, т.е. не содержит себя в качестве элемента, но по определению оно составлено из множеств первого рода (тождественно им) и должно принадлежать последним в качестве своего элемента, т.е. быть множеством множеств второго рода. Допустим теперь, что это множество принадлежит ко второму роду, т.е. содержит себя в качестве элемента, но оно по определению составлено только из множеств первого рода, не содержащих себя в качестве элемента, и отождествление с ними означает, что оно должно считаться множеством первого рода.
Логико-математические парадоксы являются результатом двусмысленности понятий отнесения, включения, принадлежности и т.п., выражающих отношение к другому и к себе. Самым убедительным средством преодоления таких парадоксов считается расселовская теория типов. Она отвергла существование класса, содержащего все классы, не являющиеся элементами самих себя. Все члены какого-либо класса должны быть типа более низкого (т.е. ближе к классу индивидуальных предметов), чем тип этого класса. Невозможны классы, которые содержат себя в качестве своего элемента. Для упрощения, здесь опускается различие между классом и множеством.
Введенные Б. Расселом ограничения запрещают все языковые выражения, которые содержат непредикативные элементы, т.е. предикаты, являющиеся сами своими аргументами (ведущими, в частности, к парадоксу Греллинга). Их принятие оспаривалось многими сторонниками классической математики из-за необходимости отречься от ряда достижений классической математики и усложнения оснований математики (арифметики). В отличие от логицистов, сосредоточившихся на определениях множеств, классов, свойств, предикатов и т.д., интуиционисты увидели причину логико-математических парадоксов в недостоверности определений таких понятий, переносящих свойства конечных множеств на бесконечные и отождествляющих существование объекта как удостоверение его принадлежности к данным конечным множествам с существованием как принадлежностью к неудостоверенному бесконечному множеству.
Они предложили заменить актуальную завершенную, не удостоверяемую операционально бесконечность потенциальной, становящейся бесконечностью, удостоверяемой алгоритмом становления, и существование объекта как принадлежность к непротиворечивой системе (актуальной бесконечности) заменить на существование как возможность построения известным методом, возможность конструирования объекта. Предложенная система соггутствует отказу от закона исключенного третьего (да - нет, третьего не дано), подразумевающего данность «всего» бесконечного множества («да-нет»). Однако интуиционисты, как и логицисты, не сумели устранить все парадоксы, сопровождающие дедуктивные доказательства. Так что проблема объяснения парадоксов по-прежнему открыта и важна.
Обсуждение парадоксов дедуктивного доказательства позволила установить одно важное обстоятельство. Чтобы выявить, какие символы, термины, формулы и доказательства могут быть употреблены в логике и математике, что может и что не может быть доказано, необходимо исследовать язык логики и математики с позиции принятой концепции значения и его удостоверения.
В индуктивных доказательствах пользуются канонами (правилами, предписаниями) Д.С. Милля, а именно: единственного сходства, единственного различия, сопутствующих изменений, остатков.
Правило единственного сходства: если предшествующие обстоятельства ABC вызывают явление авс, а обстоятельства АДЕ - явление аде, то делается заключение, что А к а причинно связаны. Так, если маятники имеют различные конфигурации, изготовлены из различных материалов, одинаковы по длине и обладают одинаковым периодом колебаний, то длина маятников является причиной равенства периодов их колебаний.
Правило единственного различия: если обстоятельства АВС вызывают явления авс, а обстоятельства ВС (явление А устраняется в ходе эксперимента) - явление вс, то делается заключение, что А есть причина а. Основанием такого заключения служит исчезновение а при устранении А. Допустим, в спектре вещества, содержащего натрий, наблюдается желтая линия. При устранении натрия из этого вещества желтая линия исчезает. Делается заключение, что присутствие натрия в данном веществе является причиной желтой линии в наблюдаемом спектре.
Очевидна возможность соединения правил сходства и различия: доказанное по одному правилу подтверждается по другому правилу.
Правило сопутствующих изменений: если возникновение или изменение одного из обстоятельств А->А ->А -ь4 при сохранении других ВСД вызывает возникновение или изменение сопутствующего ему явления a, ar а2, av то первое из них, вероятно, причина второго. Например, если при изменении температуры газа при сохранении его давления, массы и т.д. наблюдается изменение объема газа, то делается заключение, что объем газа зависит от его температуры.
Правило остатков: если установлено, что причиной части сложного изучаемого явления не служат предшествующие обстоятельства, кроме одного из них, то, вероятно, это единственное обстоятельство служит причиной части изучаемого явления. Символически это можно представить так. Сложное явление U состоит из частей abed, и предшествующие обстоятельства ABC таковы, что А есть причина а, В - причина Ь, С - причина с. Поскольку abed- части сложного явления и взаимосвязаны, можно предположить, что среди названных обстоятельств должно существовать обстоятельство D, которое и является причиной d остатка изучаемого явления U.
Используя правило остатков, например, французский астроном Леверье предсказал (доказал) существование планеты Нептун. При наблюдении планеты Уран было обнаружено ее отклонение от вычисляемой орбиты. Далее было выяснено, что силы тяготения других известных планет (А, В, Q являются причинами величин отклонения abc. Оставалась необъясненной величина отклонения d. Леверье допустил существование планеты D и описал некоторые ее характеристики. Вскоре немецкий астроном Галле открыл планету Нептун.
